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쎈수학 미적분Ⅰ · 06 도함수의 활용(3)
0708
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위치 그래프의 해석
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문제를 읽자마자
출제의도
그래프가 준 것은 세 개의 근뿐 — 식을 인수 형태로 세우고 두 번 미분하라는 문제
주어진 조건은 “삼차식이다”와 “t축과 0, 2, 5에서 만난다” 두 줄이 전부입니다. 최고차항의 계수는 끝까지 알 수 없지만, 알 필요도 없습니다. 가속도가 0이 되는 시각은 상수배와 무관하게 결정되기 때문입니다. 미지수 하나를 남긴 채 끝까지 밀고 갈 수 있느냐를 봅니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 그래프에서 읽어 낼 수 있는 것
그래프에서 확실히 읽을 수 있는 정보는 x(t)=0이 되는 t값 세 개입니다. 원점에서 출발했다고 했으니 t=0도 그중 하나예요.
세 근이 0, 2, 5인 삼차식은 어떤 모양으로 쓸 수 있을까요?
세 근이 0, 2, 5인 삼차식은 어떤 모양으로 쓸 수 있을까요?
힌트 2 — 계수를 모른다고 멈추지 말 것
x(t)=kt(t−2)(t−5) (k>0)로 두면 됩니다. k는 그래프의 세로 크기를 정할 뿐 근의 위치를 바꾸지 않으니 미지수로 남겨 두세요.
가속도는 위치를 두 번 미분한 값입니다. 한 번 미분이 아닙니다.
가속도는 위치를 두 번 미분한 값입니다. 한 번 미분이 아닙니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
전개하면 x(t)=k(t³−7t²+10t), 속도는 v=k(3t²−14t+10), 가속도는 a=k(6t−14)입니다.
k≠0이므로 a=0은 곧 6t−14=0. 여기서 나온 t가 답이고, 그 값이 0과 5 사이에 있는지 한 번 확인하세요.
k≠0이므로 a=0은 곧 6t−14=0. 여기서 나온 t가 답이고, 그 값이 0과 5 사이에 있는지 한 번 확인하세요.
다 풀고 나서
해설
정답·해설 펼치기
정답 7/3
더 빠른 길 — 가속도 0 = 변곡점
위치가 삼차식일 때 가속도가 0이 되는 시각은 곧 그래프의 변곡점이고, 삼차함수의 변곡점은 세 근의 평균 자리에 있습니다.
세 근이 0, 2, 5이므로 (0+2+5)÷3 = 7/3. 전개도, 미분도 없이 암산으로 끝납니다. 객관식 검산용으로 특히 유용합니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
t=0을 근에서 빼먹는다
그래프에 숫자로 적힌 것은 2와 5뿐이라 근이 둘이라고 착각하기 쉽습니다. “원점을 출발하여”가 곧 x(0)=0, 즉 세 번째 근입니다. -
계수 k가 없다고 손을 놓는다
미지수는 그냥 달고 가면 됩니다. 마지막에 k(6t−14)=0에서 k>0으로 나누어 사라지므로 답에는 영향이 없습니다. -
가속도를 한 번만 미분해서 구한다
속도 v=x′, 가속도 a=v′=x″입니다. 3t²−14t+10=0을 풀어 근의 공식을 쓰고 있다면 미분을 한 번 덜 한 것입니다. -
(t−2)(t−5) 전개에서 부호를 흘린다
t²−7t+10이 되어야 합니다. 여기에 t를 곱해 t³−7t²+10t. 여기서 −7이 +7이 되면 가속도 식이 6t+14가 되어 t가 음수로 나옵니다. -
답을 분수로 남기지 않고 반올림한다
7/3은 나누어떨어지지 않습니다. 2.33으로 적으면 오답 처리됩니다. 기약분수 그대로 쓰세요.