쎈미적분1 0693

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쎈수학 미적분Ⅰ · 06단원 · 유형 12 속도·가속도와 운동 방향

0693
난이도 하
방향 전환 시각의 가속도
풀이영상 있음

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원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서의 위치가

x = t³ − 9t² + 15t

일 때, 점 P가 출발 후 두 번째로 운동 방향을 바꾸는 순간의 가속도는?

① 2② 4③ 6④ 10⑤ 12

문제를 읽자마자

출제의도

v=0의 두 근 중 “두 번째”를 골라 a에 넣는 문제

앞 문항과 뼈대는 같습니다. 달라진 것은 마지막 한 칸뿐 — 위치가 아니라 가속도를 묻고, 두 근 중 큰 쪽을 쓰라고 지정했습니다. 미분 두 번과 근의 대소 비교, 그게 전부입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 조건을 식으로 옮기기
“운동 방향을 바꾼다”는 v=0입니다. 먼저 위치를 미분해 속도를 구하고, 인수분해까지 해 두세요.
근이 몇 개 나오는지 확인하는 것이 다음 단계의 열쇠입니다.
힌트 2 — 두 번째 시각 고르기
v = 3t² − 18t + 15 = 3(t−1)(t−5) → t=1 또는 t=5.
시간은 흐르는 순서대로이므로 t=1이 첫 번째, t=5가 두 번째입니다. 문제가 지정한 쪽을 동그라미 쳐 두세요.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
가속도는 속도를 한 번 더 미분한 것: a = dv/dt = 6t − 18.
여기에 t=5를 대입하면 끝입니다. x에 대입하지 않도록 주의하세요.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

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정답 ⑤  12

쎈 미적분1 0693번 해설 1
쎈 미적분1 0693번 해설 2

풀이영상

더 빠른 길 — 축에서 얼마나 떨어졌는가

a = 6t − 18 = 6(t − 3)이고, 3은 곧 v = 3(t−1)(t−5)의 축(두 근의 평균)입니다.
즉 가속도는 “축에서 떨어진 거리 × 6”. t=5는 축에서 2만큼 오른쪽이므로 a = 6×2 = 12, t=1은 2만큼 왼쪽이므로 a = −12.
방향 전환 시각의 가속도는 두 근에서 부호만 반대이고 크기가 같다는 것도 함께 챙겨 두세요.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 첫 번째 시각 t=1을 대입한다
    a(1) = 6 − 18 = −12로 부호까지 반대인 값이 나옵니다. “두 번째”라는 단어에 밑줄을 긋고 큰 근을 고르세요.
  • t=5를 x에 대입해 위치를 구한다
    물은 것은 가속도입니다. 위치·속도·가속도 중 무엇을 묻는지 계산을 시작하기 전에 확인하세요.
  • 미분을 한 번만 하고 멈춘다
    v = 3t² − 18t + 15는 속도입니다. 가속도는 여기서 한 번 더 미분한 6t − 18. v(5)=0을 답으로 적는 실수가 잦습니다.
  • 인수분해를 잘못해 근을 t=3, t=5로 잡는다
    3(t² − 6t + 5) = 3(t−1)(t−5)입니다. 합이 6, 곱이 5인 두 수는 1과 5. 대입해서 0이 되는지 한 번 검산하세요.
  • 공통인수 3을 나눈 뒤 되돌려 놓지 않는다
    근을 구할 때는 3으로 나눠도 되지만, 속도 식 자체를 3t² − 18t + 15로 유지해야 이후 미분값이 맞습니다.


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