쎈미적분1 0691

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쎈수학 미적분Ⅰ · 06단원 · 유형 11 속도와 가속도

0691
난이도 중
속도·가속도와 미정계수
풀이영상 있음

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수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서의 위치가

x = −t⁴ + kt³ + 6t² + 2t + 1

이다. t=1에서 점 P의 속도가 19일 때, t=1에서 점 P의 가속도는? (단, k는 상수이다.)

① −2② 4③ 10④ 18⑤ 24

문제를 읽자마자

출제의도

가속도를 묻지만, 먼저 해야 할 일은 미지수 k를 확정하는 것

위치 → (미분) → 속도 → (미분) → 가속도. 미분 두 번이 전부인 문제인데, 중간에 상수 k가 끼어 있습니다. 속도 조건 v(1)=19가 바로 그 k를 정하라고 준 재료입니다. 조건을 쓰는 순서만 틀리지 않으면 계산은 3줄입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 순서부터 잡기
가속도를 바로 구하려 하면 식 안에 k가 그대로 남습니다. 답이 하나로 정해지려면 k부터 알아야겠죠.
주어진 조건 “t=1에서 속도가 19”는 위치를 몇 번 미분한 식에 쓰는 조건인가요?
힌트 2 — k 구하기
v = dx/dt = −4t³ + 3kt² + 12t + 2입니다. 여기에 t=1을 넣으면 −4 + 3k + 12 + 2.
이 값이 19라는 방정식을 풀어 k를 구하세요. 상수항 +2를 흘리지 않도록 주의합니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
k=3을 v에 되돌려 넣으면 v = −4t³ + 9t² + 12t + 2.
가속도는 a = dv/dt = −12t² + 18t + 12입니다. 여기에 t=1을 대입해 마무리하세요.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 ④  18

쎈 미적분1 0691번 해설

풀이영상

더 빠른 길 — k를 끝까지 구하지 않기

a(t) = x″(t) = −12t² + 6kt + 12이므로 a(1) = −12 + 6k + 12 = 6k.
한편 v(1) = −4 + 3k + 12 + 2 = 3k + 10 = 19에서 3k = 9.
따라서 a(1) = 6k = 2×(3k) = 2×9 = 18. k=3을 굳이 대입하지 않아도 3k 덩어리만 보면 끝납니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 속도 조건을 쓰지 않고 가속도부터 계산한다
    a = −12t² + 6kt + 12에 k가 남아 답이 나오지 않습니다. 미지수가 있으면 “조건 먼저, 계산 나중”이 순서입니다.
  • v(1) 계산에서 상수항 +2를 빠뜨린다
    −4 + 3k + 12 + 2 = 19입니다. +2를 흘리면 3k=11이 되어 답이 통째로 어긋납니다.
  • 3k = 9에서 k = 9로 적는다
    계수 3으로 나누는 한 단계가 남아 있습니다. k = 3.
  • 속도 19를 답으로 옮겨 적는다
    19는 조건으로 준 값이지 구하는 값이 아닙니다. 문제가 물은 것은 가속도이므로 미분을 한 번 더 해야 합니다.
  • −t⁴을 미분하며 부호를 놓친다
    −t⁴ → −4t³ → −12t². 음의 계수가 붙은 항은 미분할 때마다 부호를 눈으로 확인하세요.


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