쎈미적분1 0684

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쎈수학 미적분Ⅰ · 06단원 · 유형 10 속도

0684
대표문제
개념 06-3
속도와 가속도

쎈 미적분1 0684번 문제

유형 10 · 속도와 가속도

  1. 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서의 위치가 x = f(t)일 때, 속도 v = dx/dt = f′(t), 가속도 a = dv/dt
  2. 이때 점 P의 속력은 |v| 이다.
  3. “원점을 지난다”는 위치 x = 0, “방향을 바꾼다”는 속도 v = 0 — 서로 다른 식이다.


문제를 읽자마자

출제의도

위치로 시각 t를 먼저 찾고, 그다음에 속도식에 대입하는 2단계 문제

묻는 것은 속도지만 곧바로 미분해서는 답이 나오지 않습니다. “다시 원점을 지나는 순간”이라는 조건이 시각 t를 정해 주는 장치이고, 이건 위치식 x=0을 푸는 일입니다. t를 확정한 다음에야 v=dx/dt에 대입합니다. 위치식과 속도식을 각각 어디에 쓰는지 구분시키는 것이 이 대표문제의 목적이고, 답이 0으로 떨어져 “P가 그 순간 순간적으로 멈춘다”는 의미까지 읽히도록 설계돼 있습니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 어느 식을 먼저 쓸지
속도를 묻는다고 해서 x를 바로 미분하면 t를 정할 수 없습니다.
“원점을 지난다”는 위치 x = 0이라는 뜻입니다. 먼저 t³ − 4t² + 4t = 0 을 푸세요. t로 묶으면 어떤 꼴이 나옵니까?
힌트 2 — 시각 t 확정하기
t(t² − 4t + 4) = t(t−2)² = 0 이므로 t = 0 또는 t = 2입니다.
t=0은 출발하는 순간이므로, “출발 후 다시 원점을 지나는” 시각은 t = 2입니다. (t=2가 중근이라는 것은 P가 원점을 스치고 방향을 되돌린다는 신호이기도 합니다.)
힌트 3 — 마지막 한 걸음
이제서야 미분합니다. v = dx/dt = 3t² − 8t + 4.
여기에 t=2를 대입하세요. 12 − 16 + 4 입니다.

충분히 고민했다면

정답과 해설

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쎈 미적분1 0684번 해설

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실수를 줄이는 전략

  • t = 0을 답의 시각으로 쓴다
    t=0은 문제에서 이미 “원점을 출발하여”라고 말한 출발 시각입니다. 묻는 것은 출발 후 다시 지나는 순간이므로 t=2를 택해야 합니다.
  • 속도를 묻는데 위치를 미분하지 않고 x에 t=2를 대입한다
    x(2)도 0이라 우연히 같은 숫자가 나오지만 완전히 다른 계산입니다. 이 문제로 정답이 맞았다고 넘어가면 다음 문항에서 반드시 틀립니다. v(t)=3t²−8t+4를 먼저 만들고 대입하세요.
  • (t−2)²을 (t−2)로 줄여 t=2 하나만 세고 넘어간다
    답은 같지만, 중근이라는 정보는 “이 순간 속도가 0이고 P가 방향을 바꾼다”는 뜻을 담고 있습니다. 실제로 v(2)=0으로 확인됩니다.
  • 속도와 속력을 혼동한다
    속도 v는 부호를 포함하고, 속력은 |v|입니다. “속도를 구하시오”에는 음수 답이 나올 수 있으므로 절댓값을 임의로 씌우지 마세요.
  • 3차식을 인수분해하지 않고 근의 공식으로 헤맨다
    상수항이 없으면 t로 묶는 것이 1순위입니다. t³−4t²+4t = t(t−2)²까지는 세 줄이면 끝납니다.


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