쎈미적분1 0670

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쎈수학 미적분Ⅰ · 06 도함수의 활용 — 방정식과 부등식

0670
난이도 상
모든 실수에서 부등식이 성립할 조건
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문제를 읽자마자

출제의도

“모든 실수 x에 대하여 성립”은 곧 최솟값 ≥ 0 — 그런데 사차식이라 최솟값을 찾는 과정 자체가 문제

f(x)=x⁴+4k³x+3의 최솟값을 k로 표현하는 것이 전부입니다. f′(x)=4(x+k)(x²−kx+k²)에서 뒤쪽 이차식이 항상 양수임을 보여야 x=−k 하나만 임계점으로 남습니다. 그 근거가 k≠0일 때만 성립하므로, 출제자는 처음부터 k=0을 따로 다루도록 설계해 두었습니다. 마지막에 정수의 개수를 묻는다는 것도 함정입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 조건을 한 줄로 번역
“모든 실수 x에 대하여 f(x)≥0″은 그래프가 x축 아래로 내려가지 않는다는 뜻, 즉 (f(x)의 최솟값)≥0입니다.
최솟값은 f′(x)=0인 곳에서 찾습니다. f(x)=x⁴+4k³x+3으로 두고 f′(x)를 구해 인수분해해 보세요. x³+k³ 꼴이 보일 겁니다.
힌트 2 — 임계점이 하나뿐인 이유
f′(x)=4x³+4k³=4(x+k)(x²−kx+k²).
뒤 이차식은 x²−kx+k²=(x−k/2)²+(3/4)k²이므로 k≠0이면 항상 양수입니다. 그러면 f′의 부호는 (x+k)만 결정하고, x=−k 하나에서만 부호가 −에서 +로 바뀝니다.
이 논리가 k=0에서는 깨진다는 점을 눈치챘다면, 경우를 나눠야 한다는 신호입니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
최솟값은 f(−k)=k⁴−4k⁴+3=−3k⁴+3. 이것이 0 이상이려면 k⁴≤1, 즉 −1≤k≤1.
여기에 k=0인 경우(부등식이 자명하게 성립)를 합치세요.
그리고 문제가 물은 것은 k의 범위가 아니라 정수 k의 개수입니다.

다 풀고 나서

정답과 해설

정답·해설 펼치기

정답 3  (k = −1, 0, 1)

쎈 미적분1 0670번 해설 1
쎈 미적분1 0670번 해설 2

확인용 — 결과식은 k=0까지 덮는다

k=0일 때 f(x)=x⁴+3의 최솟값은 x=0에서 3이고, 이는 −3k⁴+3에 k=0을 넣은 값과 같습니다. 즉 최솟값 = −3k⁴+3이라는 결론은 모든 k에서 통하므로, k⁴≤1 → −1≤k≤1로 한 번에 답을 읽을 수 있습니다.
다만 x²−kx+k²>0이라는 근거는 k≠0에서만 유효합니다. 서술형·논술형에서는 답지처럼 (i)(ii)로 나눠 쓰는 쪽이 안전합니다. 검산용으로만 쓰세요.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • k=0인 경우를 빼먹는다
    개수를 묻는 문제라 이 한 경우가 빠지면 답이 곧바로 2가 됩니다. 인수분해 논리가 k≠0을 전제로 하는 순간 “그럼 k=0은?”을 자동으로 떠올리세요.
  • x²−kx+k²>0을 근거 없이 쓴다
    완전제곱 (x−k/2)²+(3/4)k² 또는 판별식 k²−4k²=−3k²<0 중 하나를 반드시 적어야 합니다. 이 줄이 없으면 임계점이 하나라는 결론이 공중에 뜹니다.
  • 최솟값 계산에서 부호를 놓친다
    f(−k)=(−k)⁴+4k³(−k)+3=k⁴−4k⁴+3=−3k⁴+3. 4k³·(−k)를 +4k⁴로 잘못 쓰면 5k⁴+3이 되어 모든 k가 답이 됩니다.
  • k⁴≤1을 k≤1로만 옮긴다
    짝수 차수라 음수 쪽이 살아 있습니다. |k|≤1, 즉 −1≤k≤1입니다. (k+1)(k−1)(k²+1)≤0으로 풀어도 같은 결과입니다.
  • 범위까지만 구하고 멈춘다
    물은 것은 정수 k의 개수입니다. −1, 0, 1을 실제로 나열하고 세어서 3이라고 적으세요.


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