쎈미적분1 0664

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쎈수학 미적분Ⅰ · 06 도함수의 활용 — 방정식과 부등식

0664
난이도 중상
유형 05 접선의 개수
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출제의도

접선의 개수를 세지 말고, 접점 t의 방정식이 실근을 몇 개 갖는지로 바꿔 풀라는 문제

곡선 밖의 한 점에서 그은 접선의 개수는 접점의 개수와 같습니다. 접점을 (t, t³−kt)로 놓는 순간 문제는 “t에 대한 삼차방정식이 서로 다른 두 실근을 가질 조건”으로 완전히 번역됩니다. 실근이 2개라는 말은 중근이 하나 생긴다는 뜻이고, 그 조건이 (극댓값)×(극솟값)=0입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 무엇을 셀지 바꾸기
접선을 그림으로 그려 세려고 하면 끝이 없습니다. (1, 1)은 접점이 아니라 지나는 점입니다.
접점을 (t, t³−kt)로 놓으면 접선의 개수는 곧 t의 개수가 됩니다. 이 곡선의 도함수 y′=3x²−k를 써서 접점 t에서의 접선의 방정식을 먼저 세워 보세요.
힌트 2 — 조건식 만들기
접선은 y−(t³−kt)=(3t²−k)(x−t)입니다. 이 직선이 (1, 1)을 지난다는 조건을 대입해 정리하면 t만 남습니다.
정리하면 2t³−3t²+1+k=0 ······㉠
이제 원래 질문은 “㉠이 서로 다른 두 실근을 가질 k의 값”으로 바뀌었습니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
삼차방정식의 실근이 정확히 2개라는 것은 중근이 하나 있다는 뜻이고, 이는 (극댓값)×(극솟값)=0과 같습니다.
f(t)=2t³−3t²+1+k로 두면 f′(t)=6t(t−1)이므로 t=0, t=1에서 극값. 따라서 f(0)f(1)=0.
여기서 나온 두 값 중 하나는 버려야 합니다. k가 그 값일 때 점 (1, 1)이 곡선 위에 있는지 확인해 보세요.

다 풀고 나서

정답과 해설

정답·해설 펼치기

정답 ②  k = −1

쎈 미적분1 0664번 해설 1
쎈 미적분1 0664번 해설 2

극값을 직접 읽는 길 — 왜 k=0은 답이 아닌가

f(t)=2t³−3t²+1+k의 극댓값은 f(0)=1+k, 극솟값은 f(1)=k입니다. 실근이 두 개이려면 둘 중 하나가 0이어야 하므로 k=−1 또는 k=0.
k=−1이면 f(t)=t²(2t−3)이라 접점이 t=0, 3/2로 2개 — 조건을 만족합니다. 반면 k=0이면 곡선은 y=x³이 되어 점 (1, 1)이 곡선 위의 점이 됩니다. “곡선 밖의 점에서 그은 접선”이라는 전제가 깨지므로 제외합니다. 답지의 (∵ k≠0)이 바로 이 한 줄입니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • (1, 1)을 접점으로 잡는다
    (1, 1)은 접선이 지나가는 점일 뿐입니다. 접점은 문자로 (t, t³−kt)라고 따로 두어야 개수를 셀 수 있습니다.
  • 삼차방정식에 판별식을 쓰려 한다
    판별식은 이차방정식 전용입니다. 삼차는 극댓값·극솟값의 곱으로 판정하세요. 실근 3개면 <0, 2개면 =0, 1개면 >0입니다.
  • k=0을 그대로 답에 넣는다
    k=0이면 (1, 1)이 곡선 y=x³ 위의 점이 되어 문제의 전제가 무너집니다. 서술형에서는 이 제외 이유를 반드시 한 줄 적어야 감점되지 않습니다.
  • 대입 후 정리에서 부호를 흘린다
    1−(t³−kt)=(3t²−k)(1−t)를 펼치면 t³ 항이 양쪽에서 나옵니다. 2t³−3t²+1+k=0으로 정리되는지 계수 하나씩 확인하세요.
  • 구한 실근의 개수와 접선의 개수를 다르게 센다
    서로 다른 접점 하나마다 접선 하나입니다. 중근 t=0은 접점 한 개로 셉니다. 중근을 두 개로 세면 접선 3개라는 오답이 나옵니다.


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