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쎈수학 미적분Ⅰ · 06 도함수의 활용 — 방정식에의 활용
0663
난이도 중
곡선과 직선이 접할 조건
풀이영상 있음
난이도 중
곡선과 직선이 접할 조건
풀이영상 있음
곡선 y = x³ + 7 과 직선 y = 3x + k 가 한 점에서 만나고 다른 한 점에서는 접하도록 하는 실수 k의 값을 모두 구하시오.
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문제를 읽자마자
출제의도
“접한다”를 중근으로 바꿔 읽고, 답이 두 개라는 걸 놓치지 않는 문제
말은 길지만 조건은 0661번과 똑같습니다. “한 점에서 만나고 다른 한 점에서 접한다” = 서로 다른 실근 2개(그중 하나가 중근) = 극댓값 × 극솟값 = 0. 극댓값이 0인 경우와 극솟값이 0인 경우가 각각 하나씩 나오므로 k도 두 개입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 말을 식으로
곡선과 직선의 공유점은 x³+7 = 3x+k 의 실근입니다. 한쪽으로 몰면 x³ − 3x + 7 − k = 0.
이제 “한 점에서 만나고 다른 한 점에서 접한다”를 실근의 언어로 바꿔 보세요. 접한다는 것은 근이 어떤 상태라는 뜻일까요?
이제 “한 점에서 만나고 다른 한 점에서 접한다”를 실근의 언어로 바꿔 보세요. 접한다는 것은 근이 어떤 상태라는 뜻일까요?
힌트 2 — 접한다 = 중근
접하는 점은 중근, 그냥 만나는 점은 단일근입니다. 그러니 이 삼차방정식은 한 실근과 중근을 가져야 하고, 결국 서로 다른 실근이 두 개입니다.
f(x)=x³−3x+7−k 라 하면 f′(x)=3x²−3=3(x+1)(x−1). 극값을 갖는 x는 −1과 1이고, 조건은 f(−1)f(1) = 0 입니다.
f(x)=x³−3x+7−k 라 하면 f′(x)=3x²−3=3(x+1)(x−1). 극값을 갖는 x는 −1과 1이고, 조건은 f(−1)f(1) = 0 입니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
f(−1) = −1+3+7−k = 9−k, f(1) = 1−3+7−k = 5−k.
(9−k)(5−k)=0 이므로 k는 두 개입니다. 하나만 쓰고 덮지 마세요. 문제도 “모두 구하시오”라고 했습니다.
(9−k)(5−k)=0 이므로 k는 두 개입니다. 하나만 쓰고 덮지 마세요. 문제도 “모두 구하시오”라고 했습니다.
다 풀고 나서
정답과 해설
정답·해설 펼치기
정답 k = 5 또는 k = 9
더 빠른 길 — 접선을 직접 구하기
직선의 기울기가 3이므로, 접점에서의 접선 기울기도 3입니다. y′=3x²=3 에서 x = ±1.
접점이 (1, 8)이면 접선은 y = 3(x−1)+8 = 3x + 5 → k = 5.
접점이 (−1, 6)이면 접선은 y = 3(x+1)+6 = 3x + 9 → k = 9.
접점이 두 개라는 사실이 눈에 바로 보이므로, 답을 하나만 쓰는 실수를 막아 줍니다. 검산용으로도 좋습니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
k를 하나만 쓰고 끝낸다
가장 흔한 감점입니다. 극댓값이 0인 경우와 극솟값이 0인 경우가 따로 있으므로 k=5, k=9 둘 다 답입니다. 문제의 “모두 구하시오”에 밑줄을 치고 시작하세요. -
“접한다”를 판별식으로 처리하려 든다
삼차방정식에는 판별식을 쓰지 않습니다. 접한다 = 중근 = 극값이 0, 이 세 줄의 번역이 이 단원의 전부입니다. -
f(−1) 계산에서 부호를 흘린다
f(−1) = (−1)³ − 3(−1) + 7 − k = −1 + 3 + 7 − k = 9 − k. −3x에 −1을 대입하면 +3이 됩니다. 여기서 6−k로 잘못 적으면 k=6, 5가 나옵니다. -
조건을 f(−1)f(1) < 0 으로 세운다
< 0 은 서로 다른 세 점에서 만나는 경우입니다. 접하는 점이 있으면 반드시 등호(= 0)입니다. -
검산 없이 답을 옮겨 적는다
k=5면 x³−3x+2=(x−1)²(x+2), k=9면 x³−3x−2=(x+1)²(x−2). 중근이 실제로 생기는지 인수분해로 30초만 확인하면 부호 실수가 전부 걸러집니다.
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