쎈미적분1 0662

작성자:


쎈 미적분Ⅰ 전체 문항 해설 모아보기  ›

문제번호로 바로 찾아가는 메인포스트

쎈수학 미적분Ⅰ · 06 도함수의 활용 — 방정식에의 활용

0662
난이도 중
교점이 한 개일 조건
풀이영상 있음

두 곡선 y = −x³ + 2x², y = x² − x + k 가 오직 한 점에서 만나도록 하는 자연수 k의 최솟값을 구하시오.


문제를 확인했다면

풀이영상 먼저 보기

문제를 읽자마자

출제의도

답이 값이 아니라 범위로 나온 뒤, 자연수 조건으로 한 개만 골라내는 문제

바로 앞 문항과 조건식만 다릅니다. 교점이 두 개면 극값의 곱이 0, 한 개면 극값의 곱 > 0. 부등호가 등호로 바뀌지 않으므로 k는 구간으로 나오고, 마지막에 “자연수 중 가장 작은 값”을 읽어내는 마무리가 진짜 함정입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 연립부터
−x³+2x² = x²−x+k 를 한쪽으로 몰고 최고차항이 양수가 되도록 −1을 곱하세요.
2x²에서 x²를 빼면 x²가 남고, 오른쪽의 −x는 부호가 바뀌어 넘어옵니다. 정리하면 x³ − x² − x + k = 0.
힌트 2 — “오직 한 점”의 번역
삼차함수는 좌우 끝이 −∞와 +∞이므로 실근이 최소 한 개는 있습니다. 실근이 정확히 한 개라는 건 극댓값과 극솟값이 x축을 사이에 두지 않는다는 뜻 — 즉 두 극값의 부호가 같습니다.
f(x)=x³−x²−x+k, f′(x)=3x²−2x−1=(3x+1)(x−1). 극값을 갖는 x는?
힌트 3 — 마지막 한 걸음
x = −1/3, x = 1 에서 극값을 가지므로 조건은 f(−1/3)·f(1) > 0.
f(−1/3) = −1/27 − 1/9 + 1/3 + k 를 통분하면 k + 5/27, f(1) = k − 1 입니다. 부등식을 풀어 나온 두 구간 중 자연수가 들어 있는 쪽을 보고, 등호가 없다는 점에 주의해서 최솟값을 고르세요.

다 풀고 나서

정답과 해설

정답·해설 펼치기

정답 2

쎈 미적분1 0662번 해설

더 안전한 길 — k를 분리해서 수평선으로 보기

x³−x²−x+k=0 을 k = −x³+x²+x 로 옮깁니다. g(x)=−x³+x²+x 라 하면 g′(x)=−3x²+2x+1=−(3x+1)(x−1)이므로 극솟값 g(−1/3)=−5/27, 극댓값 g(1)=1.
수평선 y=k가 y=g(x)와 한 점에서만 만나려면 극솟값보다 아래이거나 극댓값보다 위여야 하므로 k < −5/27 또는 k > 1.
부등호 방향을 외우지 않아도 그래프를 그려 세면 되므로, 부호 판정이 헷갈릴 때 이 방법을 쓰세요. 자연수 중 가장 작은 값은 2입니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 부등호를 ≥ 로 쓰고 k = 1을 답한다
    가장 많이 나오는 오답이 1입니다. k=1이면 f(1)=0이 되어 중근이 생기고 교점이 두 개가 됩니다. 등호는 반드시 빠집니다.
  • f(−1/3) 통분에서 부호를 놓친다
    (−1/3)³ = −1/27, (−1/3)² = 1/9 이므로 f(−1/3) = −1/27 − 1/9 + 1/3 + k = (−1−3+9)/27 + k = k + 5/27. 세 항의 부호를 27로 통분해 한 줄에 정리하세요.
  • 극값의 곱 조건 방향을 반대로 쓴다
    > 0 이면 실근 1개, = 0 이면 2개, < 0 이면 3개. “곱이 음수 = x축을 가로질러 세 번 만난다”로 그림과 함께 기억하면 뒤집히지 않습니다.
  • 부등식 해를 한 구간만 쓴다
    (k+5/27)(k−1) > 0 의 해는 k < −5/27 또는 k > 1 입니다. 자연수 조건 덕분에 답은 같지만, 답안에 두 구간을 모두 적어야 합니다.
  • 범위까지 구하고 멈춘다
    문제가 요구한 것은 k의 범위가 아니라 자연수 k의 최솟값입니다. k > 1 을 만족하는 자연수를 1, 2, 3… 순서로 짚어 2를 확정하고 마무리하세요.


다른 문항도 풀어보기 — 전체 목록 바로가기  ›

문제번호로 바로 찾아가는 메인포스트

댓글 남기기