주석 부분에 iframe 삽입
============================================================
–>
쎈 미적분Ⅰ 전체 문항 해설 모아보기 ›
문제번호로 바로 찾아가는 메인포스트
쎈수학 미적분Ⅰ · 06 도함수의 활용 ― 방정식과 부등식
0659
난이도 상
극값 존재 조건 + 실근 1개
난이도 상
극값 존재 조건 + 실근 1개
문제를 읽자마자
출제의도
조건이 두 개다 ― 각각 부등식으로 바꾸고 마지막에 교집합
“극값을 갖고”가 첫 번째 조건, “실근이 오직 한 개”가 두 번째 조건입니다. 앞은 f′(x)=0이 서로 다른 두 실근을 갖는다는 뜻이라 a>0, 뒤는 극댓값과 극솟값의 곱이 양수라는 뜻입니다. 대부분의 오답은 뒤쪽만 풀고 a>0을 잊은 데서 나옵니다. 두 조건을 ㉠, ㉡으로 번호를 붙여 놓고 마지막에 합치세요.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 조건이 몇 개인지부터 세기
문장을 끊어 읽으면 조건이 둘입니다. “극값을 갖고”와 “오직 한 개의 실근”.
f′(x)=2x²−2a=2(x²−a)에서 극값이 존재하려면 이 이차방정식이 서로 다른 두 실근을 가져야 합니다. a에 대한 조건이 나오나요?
f′(x)=2x²−2a=2(x²−a)에서 극값이 존재하려면 이 이차방정식이 서로 다른 두 실근을 가져야 합니다. a에 대한 조건이 나오나요?
힌트 2 — 극점을 문자로 두고 대입
a>0이므로 극점은 x=−√a, x=√a입니다. 실근이 하나뿐이려면 두 극값의 부호가 같아야 하므로 f(−√a)f(√a)>0.
(√a)³=a√a라는 점을 이용해 두 값을 정리해 보세요.
(√a)³=a√a라는 점을 이용해 두 값을 정리해 보세요.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
f(√a)=−(4/3)a√a+2a, f(−√a)=(4/3)a√a+2a입니다. 두 식 모두 a로 묶어내면 a²{2+(4/3)√a}{2−(4/3)√a}>0.
a>0이므로 a²을 지우고 합차공식을 쓰면 4−(16/9)a>0. 마지막에 ㉠ a>0과 반드시 교집합을 잡으세요.
a>0이므로 a²을 지우고 합차공식을 쓰면 4−(16/9)a>0. 마지막에 ㉠ a>0과 반드시 교집합을 잡으세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 0 < a < 9/4
더 빠른 길 — 극댓값은 볼 필요가 없다
a>0일 때 극댓값 f(−√a)=(4/3)a√a+2a는 두 항이 모두 양수이므로 언제나 양수입니다.
따라서 두 극값이 같은 부호이려면 극솟값도 양수이면 됩니다. −(4/3)a√a+2a>0 ⟹ (4/3)√a<2 ⟹ √a<3/2 ⟹ a<9/4. 곱을 전개하지 않고 두 줄로 끝납니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
a < 9/4만 쓰고 끝낸다
이 문제 최다 오답입니다. a≤0이면 f′(x)=0이 서로 다른 두 실근을 갖지 못해 극값 자체가 없습니다. 답은 반드시 0 < a < 9/4. -
(√a)³을 √a³이나 a로 잘못 계산한다
(2/3)(√a)³=(2/3)a√a입니다. √a를 t로 치환해 a=t²로 두고 계산하면 지수 실수가 사라집니다. -
부등호를 <0으로 잡는다
실근이 오직 한 개면 극값의 곱은 양수, 서로 다른 세 실근이면 음수입니다. “오직 한 개”를 봤으면 >0. -
(4/3)²을 8/3이나 4/9로 쓴다
합차공식에서 2²−{(4/3)√a}²=4−(16/9)a입니다. 분모는 9, 분자는 16. 여기서 틀리면 9/4가 아닌 엉뚱한 경계값이 나옵니다. -
a = 9/4를 범위에 포함시킨다
등호가 성립하면 극솟값이 0이 되어 x축에 접하고, 실근이 2개가 됩니다. “오직 한 개”라는 조건이 깨지므로 등호는 제외.
다른 문항도 풀어보기 — 전체 목록 바로가기 ›
문제번호로 바로 찾아가는 메인포스트