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쎈수학 미적분Ⅰ · 06 도함수의 활용 ― 방정식과 부등식
0657
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삼차방정식의 실근의 개수
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문제를 읽자마자
출제의도
근을 구하지 말고, 극댓값 × 극솟값의 부호로 실근의 개수를 판정하라
삼차방정식 2x³−6x²−18x−a+2=0은 인수분해가 되지 않습니다. 출제자는 근을 구하라는 게 아니라, y=f(x)의 그래프가 x축과 몇 번 만나는지를 묻고 있습니다. 한 실근과 두 허근 ⟺ x축과 딱 한 번 교차 ⟺ f(−1)f(3)>0. 이 한 줄이 문제의 전부이고, 나머지는 대입과 부등식 정리입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 방향부터 잡기
근의 공식이나 인수분해를 시도하고 있다면 멈추세요. 삼차방정식에서 “허근”이라는 단어가 보이면 근의 개수 → 그래프와 x축의 교점 개수로 번역하는 것이 기본 반응입니다.
한 실근과 두 허근이면, 실제 교점은 몇 개인가요?
한 실근과 두 허근이면, 실제 교점은 몇 개인가요?
힌트 2 — 판정식 세우기
f(x)=2x³−6x²−18x−a+2로 두면 f′(x)=6x²−12x−18=6(x+1)(x−3)이므로 극점은 x=−1, x=3입니다.
x축과 한 번만 만나려면 두 극값이 같은 부호여야 합니다. 즉 f(−1)f(3)>0.
x축과 한 번만 만나려면 두 극값이 같은 부호여야 합니다. 즉 f(−1)f(3)>0.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
f(−1)=−2−6+18−a+2=12−a, f(3)=54−54−54−a+2=−52−a입니다.
(12−a)(−52−a)>0의 양변에 −1을 곱해 (a−12)(a+52)>0으로 바꾸면 범위가 한눈에 보입니다. 그 뒤 선택지 중에서 이 범위에 들어가는 값을 고르세요.
(12−a)(−52−a)>0의 양변에 −1을 곱해 (a−12)(a+52)>0으로 바꾸면 범위가 한눈에 보입니다. 그 뒤 선택지 중에서 이 범위에 들어가는 값을 고르세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ⑤ a < −52 또는 a > 12
풀이영상
더 빠른 길 — a를 떼어내고 y=a와의 교점으로
식을 2x³−6x²−18x+2=a로 옮기고 g(x)=2x³−6x²−18x+2로 둡니다. g′(x)=6(x+1)(x−3)이므로 극댓값 g(−1)=12, 극솟값 g(3)=−52.
곡선 y=g(x)와 직선 y=a가 한 점에서만 만나려면 직선이 극댓값 위 또는 극솟값 아래에 있어야 하므로 a>12 또는 a<−52. 부등식을 전개할 필요가 없습니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
부등호 방향을 반대로 잡는다
서로 다른 세 실근이면 f(극대)f(극소)<0, 한 실근과 두 허근이면 >0입니다. 문제에서 “허근”을 봤다면 >0. 이 둘을 바꿔 쓰는 것이 이 유형 오답의 절반입니다. -
f(3) 대입에서 부호를 흘린다
2·27−6·9−18·3=54−54−54=−54. 여기에 −a+2를 더해 −52−a입니다. 54−54를 먼저 지우고 −54만 남기는 습관을 들이세요. -
a=12, a=−52를 답에 포함시킨다
등호가 성립하면 극값 중 하나가 0이 되어 중근이 생기고, 실근이 2개가 됩니다. 허근 2개 조건이 깨지므로 등호는 반드시 제외. -
a > 12만 확인하고 선택지를 훑는다
범위는 두 덩어리(a<−52 또는 a>12)입니다. 음수 선택지 −4, −2는 −52보다 크므로 탈락한다는 것까지 확인해야 안전합니다. -
극값을 구하는 대신 f(0), f(1) 같은 아무 값이나 대입한다
판정에 쓰는 값은 반드시 f′(x)=0을 만족하는 x, 즉 극점에서의 함숫값입니다. x=−1과 x=3을 먼저 확정하고 나서 대입하세요.
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