쎈미적분1 0652

작성자:


쎈 미적분Ⅰ 전체 문항 해설 모아보기  ›

문제번호로 바로 찾아가는 메인포스트

쎈수학 미적분Ⅰ · 06 도함수의 활용

0652
난이도 중
방정식의 실근의 부호
풀이영상 있음

삼차함수 f(x)의 도함수 y=f′(x)의 그래프가 오른쪽 그림과 같고 f(0)=2, f(5)=−4이다. 이때 방정식 f(x)=k가 서로 다른 두 개의 양근과 한 개의 음근을 갖도록 하는 실수 k의 값의 범위를 구하시오.

O 1 5 y x y=f′(x)
y = f′(x)


문제를 확인했다면

풀이영상 먼저 보기

문제를 읽자마자

출제의도

f의 식은 끝까지 구하지 말고, 근의 개수가 아니라 근의 부호를 조건으로 바꾸라는 문제

f′의 그래프만으로 증감표는 복원됩니다. 서로 다른 세 실근은 극솟값과 극댓값 사이에서 나오지만, 이 문제의 진짜 조건은 그다음입니다. 가장 작은 근이 음수여야 한다는 요구가 f(0)=2라는 값을 상한으로 만들어 줍니다. f(5)=−4와 f(0)=2, 두 값이 각각 다른 일을 한다는 걸 알아채는 게 전부입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 증감표부터 복원하기
주어진 그래프는 f가 아니라 f′입니다. x축 위쪽이면 f′>0(증가), 아래쪽이면 f′<0(감소).
f′(1)=f′(5)=0이고 아래로 볼록한 포물선이므로 f는 x=1에서 극대, x=5에서 극소. 극솟값은 문제가 f(5)=−4로 알려 줬습니다.
힌트 2 — 세 근의 위치 표시하기
y=f(x)와 y=k가 서로 다른 세 점에서 만나려면 (극솟값)<k<(극댓값), 즉 −4<k<f(1).
이때 세 근을 작은 것부터 x₁<x₂<x₃라 하면 x₁<1<x₂<5<x₃입니다. x₂와 x₃는 조건과 무관하게 항상 양수예요. 그럼 실제로 따져야 할 근은 몇 번일까요?
힌트 3 — 마지막 한 걸음
남은 조건은 x₁<0 하나뿐입니다. f는 구간 (−∞, 1)에서 증가하므로 x₁<0 ⟺ f(x₁)<f(0), 즉 k<2.
f(1)은 f(0)=2보다 크므로 상한은 f(1)이 아니라 2가 됩니다. 아래쪽 경계 −4와 합쳐 적고, 등호를 붙일지 두 경계 모두 검토하세요.

다 풀고 나서

정답과 해설

정답·해설 펼치기

정답 −4 < k < 2

쎈 미적분1 0652번 해설

확인하는 법 — 두 경계를 직접 대입해 보기

k=−4이면 x=5가 중근이 되어 양근이 “서로 다른 두 개”가 아니게 됩니다. k=2이면 f(0)=2이므로 x=0이 근이 되는데, 0은 양근도 음근도 아니라서 조건이 깨집니다.
경계값 두 개를 대입해 왜 빠지는지 각각 한 줄로 확인해 두면, 부등호에 등호를 붙일지 고민하는 시간이 사라집니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 주어진 그래프를 y=f(x)로 착각한다
    그림은 f′의 그래프입니다. 이걸 f로 읽으면 x=1, x=5를 f의 근으로 잡게 되어 문제가 통째로 뒤집힙니다. 그래프 옆에 “이건 f′”라고 먼저 적으세요.
  • 상한을 f(1)로 잡는다
    세 근이 생기는 조건은 −4<k<f(1)이지만, “음근이 하나”라는 조건이 상한을 f(0)=2로 더 내려 줍니다. f(1)의 값은 구할 필요도, 구할 수도 없습니다.
  • k=2를 범위에 포함시킨다
    k=2이면 x=0이 근이 됩니다. 0은 양수도 음수도 아니므로 “음근 한 개”가 성립하지 않습니다. 미만입니다.
  • k=−4를 범위에 포함시킨다
    k가 극솟값과 같으면 x=5가 중근이 되어 서로 다른 근은 두 개뿐입니다. “서로 다른 두 개의 양근”이라는 문구를 다시 읽으세요.
  • x₂, x₃의 부호를 매번 따진다
    x₂는 1과 5 사이, x₃은 5보다 크므로 언제나 양수입니다. 검토할 근은 x₁ 하나뿐이라는 걸 먼저 정리하면 풀이가 절반으로 줄어듭니다.


다른 문항도 풀어보기 — 전체 목록 바로가기  ›

문제번호로 바로 찾아가는 메인포스트

댓글 남기기