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쎈수학 미적분Ⅰ · 06 도함수의 활용 · 유형 02
0650
난이도 중
방정식 f(x)=k의 실근의 부호
풀이영상 있음
난이도 중
방정식 f(x)=k의 실근의 부호
풀이영상 있음
방정식 2x² + 9x = x³ − x² + a가 서로 다른 두 개의 양근과 한 개의 음근을 갖도록 하는 정수 a의 개수는?
- ① 23
- ② 24
- ③ 25
- ④ 26
- ⑤ 27
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문제를 읽자마자
출제의도
앞 문항과 같은 유형에 정리하기와 개수 세기를 하나씩 더 붙인 문제
0649는 상수분리만 하면 됐지만, 여기서는 식이 양변에 흩어져 있어 먼저 a만 한쪽에 남기도록 정리해야 합니다. 이때 x³의 계수가 음수가 되어 증감의 방향이 뒤집히는 것이 첫 번째 함정. 그리고 답이 범위가 아니라 정수의 개수라서 양 끝 포함 여부에서 한 번 더 갈립니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — a만 남기고 정리하기
2x²+9x = x³−x²+a에서 a를 제외한 항을 모두 왼쪽으로 모으세요.
2x²+9x−x³+x² = a, 즉 −x³+3x²+9x = a입니다.
x²항이 2x²와 +x²로 합쳐져 3x²가 되는 부분을 급하게 넘기지 마세요. 여기서 틀리면 뒤가 전부 무너집니다.
2x²+9x−x³+x² = a, 즉 −x³+3x²+9x = a입니다.
x²항이 2x²와 +x²로 합쳐져 3x²가 되는 부분을 급하게 넘기지 마세요. 여기서 틀리면 뒤가 전부 무너집니다.
힌트 2 — 증감의 방향이 반대다
f(x)=−x³+3x²+9x의 최고차항 계수가 음수입니다. 그래프는 감소 → 증가 → 감소 순서로, 왼쪽에서 내려왔다가 올라간 뒤 다시 내려갑니다.
f′(x)=−3x²+6x+9=−3(x+1)(x−3)이므로 x=−1에서 극솟값 −5, x=3에서 극댓값 27.
그리고 잊지 말아야 할 세 번째 수: f(0)=0입니다.
f′(x)=−3x²+6x+9=−3(x+1)(x−3)이므로 x=−1에서 극솟값 −5, x=3에서 극댓값 27.
그리고 잊지 말아야 할 세 번째 수: f(0)=0입니다.
힌트 3 — 세고 나서 한 번 더 확인
양근 두 개·음근 한 개가 되려면 수평선 y=a가 0과 27 사이에 있어야 합니다. 즉 0 < a < 27.
이제 정수를 세세요. 1부터 26까지. 0과 27은 왜 제외되는지 그림에서 직접 확인하고, 개수를 “27−1″이 아니라 “26−1+1”로 정확히 계산하세요.
이제 정수를 세세요. 1부터 26까지. 0과 27은 왜 제외되는지 그림에서 직접 확인하고, 개수를 “27−1″이 아니라 “26−1+1”로 정확히 계산하세요.
다 풀고 나서
정답과 해설
정답·해설 펼치기
정답 ④ 26개 (a = 1, 2, 3, …, 26)
다른 길 — 최고차항을 양수로 돌려놓고 풀기
음수 계수의 그래프가 부담스럽다면 부호를 뒤집어 g(x)=x³−3x²−9x+a=0으로 두세요.
g′(x)=3(x+1)(x−3)에서 극댓값 g(−1)=a+5, 극솟값 g(3)=a−27.
서로 다른 세 실근 → a+5>0이고 a−27<0. 음근 한 개·양근 두 개 → 근을 α<0<β<γ라 할 때 g(0)=(−α)(−β)(−γ)>0, 즉 a>0.
합치면 0<a<27로 같은 결론입니다. 증감 방향을 헷갈리는 학생에게는 이 쪽이 더 안전합니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
이항하면서 x²항을 잘못 합친다
2x²와 −(−x²)이 만나 3x²가 됩니다. 2x²−x²=x²로 계산하면 극값이 통째로 달라져 답이 어디에도 없게 됩니다. 정리한 식 −x³+3x²+9x=a에 x=1을 넣어 원식과 같은지 1초 검산하세요. -
최고차항 계수가 음수인데 증감표를 반대로 쓴다
f′(x)=−3(x+1)(x−3)은 x<−1과 x>3에서 음수입니다. 즉 x=−1이 극소, x=3이 극대입니다. 습관대로 “왼쪽이 극대”라고 쓰면 27과 −5의 자리가 바뀝니다. -
f(0)=0을 건너뛰고 −5 < a < 27로 잡는다
그 범위는 실근이 세 개라는 조건일 뿐입니다. 부호까지 맞추려면 원점 높이 0이 아래 경계가 되어야 합니다. 이 한 줄이 빠지면 정수 개수가 31개로 나옵니다. -
정수 개수를 27개로 센다
0 < a < 27에서 a는 1부터 26까지, 26개입니다. 양 끝을 뺀 개수는 (27−0)−1로 계산하는 습관을 들이세요. 선택지 ⑤ 27은 정확히 이 실수를 노린 것입니다. -
a=0, a=27을 포함시킨다
a=0이면 x=0이 근이 되어 “양근”이 아니고, a=27이면 x=3에서 중근이 생겨 “서로 다른 두 양근”이 깨집니다. 경계값은 항상 그림에 직접 그어 보고 판정하세요.
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