쎈미적분1 0612

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쎈수학 미적분Ⅰ · 05 도함수의 활용

0612
난이도 상
전개도형의 부피 최대
풀이영상 있음

쎈 미적분1 0612번 문제

문제를 읽자마자

출제의도

높이 x가 잘라내는 크기까지 결정한다 — 30° 하나로 밑면 한 변을 x로 써라

미분은 마지막 다섯 줄이고, 승부는 그 앞에서 갈립니다. 상자를 세웠을 때 옆면의 높이가 x라면 종이에서 안쪽으로 들어가야 하는 길이가 자동으로 정해집니다. 정육각형의 내각이 120°라는 사실에서 30°가 나오고, x tan30° = x/√3 이 그 길이입니다. 밑면 한 변을 x로 표현하는 데 성공하면 남은 것은 삼차함수 최대 문제일 뿐입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 무엇이 x인지부터
x는 잘라내는 길이가 아니라 상자의 높이입니다. 접어 올렸을 때 세워지는 옆면의 높이가 x라는 뜻이죠.
정육각형의 한 내각은 120°이고 접는 선이 그 각을 이등분하므로 직각삼각형의 한 각이 30°가 됩니다. 그러면 꼭짓점에서 안쪽으로 들어간 길이는 얼마일까요?
힌트 2 — 밑면 한 변을 x로
들어간 길이는 x tan30° = x/√3. 변 하나를 놓고 보면 양쪽 끝에서 각각 깎이므로 두 배가 빠집니다.
따라서 밑면 정육각형의 한 변은 4√3 − (2/√3)x. 이 식은 (2/√3)(6−x) 로 묶입니다. 6−x가 보이도록 정리해 두면 뒤가 훨씬 편합니다.
힌트 3 — 넓이·정의역·마무리
정육각형의 넓이는 정삼각형 6개, 즉 6·(√3/4)·(한 변)². 대입하면 2√3(6−x)².
부피는 V(x) = 2√3(6−x)²x 이고, 한 변이 양수여야 하므로 0 < x < 6.
V′(x) = 6√3(x−2)(x−6)에서 근은 2와 6인데, 6은 정의역 밖입니다. 그리고 문제가 물은 것은 부피가 아니라 x의 값입니다.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 2  (이때 부피는 64√3)

쎈 미적분1 0612번 해설

풀이영상

더 빠른 길 — 산술·기하평균

V = 2√3·x(6−x)² 에서 x + (6−x)/2 + (6−x)/2 = 6 으로 합이 일정한 세 양수가 만들어집니다.
산술·기하평균에 의해 x·(6−x)/2·(6−x)/2 ≤ (6/3)³ = 8, 즉 x(6−x)² ≤ 32이고 등호는 x = (6−x)/2, 곧 x = 2일 때. 최댓값은 2√3×32 = 64√3. 미분 없이 두 줄이며, 객관식·단답형에서 검산용으로 쓰기 좋습니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • x를 잘라내는 길이로 착각한다
    x는 다 만든 상자의 높이입니다. 종이 위에서 안쪽으로 들어가는 길이는 x가 아니라 x tan30° = x/√3. 이 지점에서 어긋나면 이후 계산이 아무리 정확해도 답이 나오지 않습니다.
  • 한쪽만 깎았다고 보고 4√3 − x/√3 로 쓴다
    정육각형의 한 변은 이웃한 두 꼭짓점을 함께 가지므로 양 끝에서 각각 깎입니다. 빼는 값은 두 배인 2x/√3 입니다.
  • 정육각형 넓이를 정삼각형 6개로 보지 않는다
    한 변이 a인 정육각형의 넓이는 6·(√3/4)a². 여기에 a = (2/√3)(6−x)를 넣으면 루트가 정리되어 2√3(6−x)² 이라는 단순한 식이 됩니다.
  • 정의역 0 < x < 6 을 쓰지 않는다
    V′(x) = 0의 근은 2와 6 두 개입니다. 6을 버리는 근거가 바로 이 정의역이고, x = 6이면 밑면의 한 변이 0이 되어 상자가 사라집니다. 서술형이라면 이 줄이 채점 포인트입니다.
  • 최댓값 64√3 을 답으로 적는다
    문제가 요구한 것은 부피가 최대가 되는 높이 x의 값입니다. 답은 2. 최댓값까지 구했다면 검산으로만 쓰세요.


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