쎈미적분1 0611

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쎈수학 미적분Ⅰ · 05 도함수의 활용

0611
난이도 중
입체도형의 부피 최대
풀이영상 있음

쎈 미적분1 0611번 문제

문제를 읽자마자

출제의도

겉넓이가 고정이라는 한 줄로 h를 지우고, 부피를 r 하나짜리 함수로 만들어라

원기둥 위에 반구를 덮은 입체이므로 미지수는 반지름 r과 높이 h 두 개로 출발합니다. 그런데 겉넓이가 20π로 묶여 있으니 자유롭게 움직이는 값은 사실 하나뿐입니다. 겉넓이 식에서 h를 r로 바꿔 넣는 순간 삼차함수 최대 문제로 내려앉고, 남은 일은 미분과 증감표뿐입니다. 이 문제의 진짜 관문은 미분이 아니라 “겉넓이에 어느 면이 들어가는가”입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 겉면을 세는 법
반지름을 r, 원기둥의 높이를 h라 두세요. 이 입체를 손으로 만졌을 때 닿는 면은 원기둥 밑면 · 원기둥 옆면 · 반구의 곡면 셋뿐입니다.
원기둥의 윗면은 왜 세지 않을까요? 반구가 정확히 그 위에 얹혀 덮고 있기 때문입니다. 이 한 가지를 놓치면 이후 계산이 전부 어긋납니다.
힌트 2 — h 지우기
겉넓이는 πr² + 2πrh + ½·4πr² = 20π 입니다. 정리하면 3r² + 2rh = 20, 즉 h = (20−3r²)/(2r).
부피는 원기둥 + 반구이므로 V = πr²h + ½·(4/3)πr³. 여기에 h를 대입해 보세요. 삼차항 두 개가 합쳐지면서 V(r) = 10πr − (5/6)πr³ 이라는 깔끔한 식이 나옵니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
V′(r) = 10π − (5/2)πr² = −(5/2)π(r+2)(r−2) 에서 r = 2.
그런데 r의 범위를 r > 0 만으로 두면 안 됩니다. h > 0 이어야 입체가 만들어지므로 20−3r² > 0, 즉 0 < r < 2√15/3. r = 2는 이 안에 들어옵니다.
그리고 문제가 물은 것은 r이 아니라 부피의 최댓값입니다.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 ①  40π/3

쎈 미적분1 0611번 해설 1
쎈 미적분1 0611번 해설 2

풀이영상

더 빠른 길 — 겉넓이를 문자로 두고 한 번에

겉넓이를 S로 두면 πr²h = (r/2)(S − 3πr²) 이므로 V = Sr/2 − (5/6)πr³ 이라는 일반식이 나옵니다.
V′ = S/2 − (5/2)πr² = 0 에서 r² = S/(5π). S = 20π를 넣으면 r² = 4, 곧 r = 2. 숫자를 대입하기 전에 이 관계를 알고 있으면 겉넓이만 바뀌는 같은 유형이 나와도 계산 없이 반지름이 먼저 보입니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 원기둥의 윗면까지 겉넓이에 넣는다
    윗면은 반구에 덮여 겉으로 드러나지 않습니다. 겉넓이 = 밑면 πr² + 옆면 2πrh + 반구 곡면 2πr². 이걸 4πr²+2πrh로 쓰면 h 식부터 틀어집니다.
  • 반구의 겉넓이·부피에서 절반을 잊는다
    곡면은 4πr²의 절반인 2πr², 부피는 (4/3)πr³의 절반인 (2/3)πr³. 특히 부피에서 절반을 놓치면 V(r)의 삼차항 계수가 −5/6이 아니라 +1/2가 되어 최댓값 자체가 사라집니다.
  • 정의역을 r > 0으로만 잡는다
    h > 0이라야 입체가 성립하므로 0 < r < 2√15/3. 증감표의 오른쪽 끝이 바로 이 값이고, 서술형에서 이 한 줄이 빠지면 감점 대상입니다.
  • r = 2를 답으로 적는다
    구하는 것은 부피의 최댓값입니다. V(2) = 20π − (5/6)π·8 = 40π/3 까지 계산해야 끝입니다.
  • V(2) 계산에서 π를 흘린다
    10π·2 = 20π, (5/6)π·8 = 20π/3. 20π − 20π/3 = 40π/3. 선지가 전부 π를 달고 있으니 계수만 비교하다 ②(50π/3)를 고르기 쉽습니다.


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