쎈수학 미적분Ⅰ · 05 도함수의 활용
0603
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삼차함수의 최대·최소
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출제의도
닫힌구간에서의 최대·최소는 극값과 양 끝값만 비교하면 끝난다
a, b가 미지수라서 어려워 보이지만 구조는 단순합니다. f′(x)=3ax(x−2)에서 구간 [1, 3] 안에 들어오는 후보는 x=2 하나뿐이고, 비교 대상은 f(1), f(2), f(3) 세 개입니다. 이 세 값을 a, b로 적어 놓고 최댓값 10, 최솟값 2를 연립하라는 것이 출제의도입니다. a>0이라는 조건이 “누가 최댓값인가”를 정해 준다는 점이 핵심 장치입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 후보를 먼저 줄이기
f′(x)=3ax²−6ax를 인수분해하면 3ax(x−2)입니다. f′(x)=0의 해는 x=0, x=2인데 구간이 [1, 3]이므로 x=0은 버립니다.
후보는 몇 개로 줄었나요? 최대·최소를 찾을 자리는 극값이 되는 x=2, 그리고 양 끝 x=1, x=3뿐입니다.
후보는 몇 개로 줄었나요? 최대·최소를 찾을 자리는 극값이 되는 x=2, 그리고 양 끝 x=1, x=3뿐입니다.
힌트 2 — 증감표에 a의 부호를 반영하기
a>0이므로 1<x<2에서 f′(x)<0, 2<x<3에서 f′(x)>0입니다. 즉 감소 후 증가, x=2는 극소점입니다.
그러면 최솟값 자리는 확정입니다. f(2)를 a, b로 적어 보세요.
그러면 최솟값 자리는 확정입니다. f(2)를 a, b로 적어 보세요.
힌트 3 — 최댓값은 f(1)과 f(3) 중 누구인가
f(1)=−2a+b, f(3)=b입니다. 두 값의 차 f(3)−f(1)=2a이고 a>0이므로 항상 f(3)>f(1).
따라서 최댓값은 f(3)=b, 최솟값은 f(2)=−4a+b. 여기에 10과 2를 대입해 연립하면 끝입니다.
따라서 최댓값은 f(3)=b, 최솟값은 f(2)=−4a+b. 여기에 10과 2를 대입해 연립하면 끝입니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ④ a+b = 12
풀이영상
더 빠른 길 — 세 값을 세로로 나열하고 차이만 본다
f(1)=−2a+b, f(2)=−4a+b, f(3)=b. 세 값 모두 b가 공통이므로 실제로 비교할 것은 −2a, −4a, 0뿐입니다.
a>0이면 크기 순서가 f(2)<f(1)<f(3)로 즉시 정해집니다. 증감표를 그리지 않아도 최댓값 b=10, 최솟값 −4a+b=2가 바로 나옵니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
x=0을 후보에 그대로 남겨 둔다
f′(x)=0의 해라도 구간 밖이면 무의미합니다. 1≤x≤3이므로 x=0은 표에 등장할 수 없습니다. 증감표의 양 끝은 반드시 1과 3이어야 합니다. -
극값을 곧바로 최댓값·최솟값이라고 단정한다
닫힌구간에서는 끝값이 최대·최소가 되는 경우가 흔합니다. 이 문제도 최댓값은 극값이 아니라 끝값 f(3)입니다. 후보 세 개를 전부 계산한 뒤 비교하세요. -
a>0 조건을 쓰지 않고 f(1)과 f(3)을 짐작한다
a의 부호가 정해지지 않으면 그래프 모양도, 최댓값 자리도 정해지지 않습니다. “양수 a, b”는 장식이 아니라 f(3)>f(1)의 근거입니다. -
f(2) 계산에서 −3ax² 항을 놓친다
f(2)=8a−12a+b=−4a+b입니다. 8a−12a를 −4a가 아닌 4a로 쓰면 a=−2가 나와 양수 조건과 모순됩니다. 부호가 어긋나면 이 줄을 먼저 확인하세요. -
a와 b를 구하고 멈춘다
문제가 물은 것은 a+b입니다. a=2, b=10을 따로 적고 더하세요. b=10만 보고 ③을 고르는 실수가 가장 많습니다.
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