쎈미적분1 0601

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쎈수학 미적분Ⅰ · 05단원 · 유형 18 함수의 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정

0601
난이도 중
최대·최소와 미정계수
풀이영상 있음

문제 조건 · 본책 97쪽

f(x) = x³ + ax² + b 에 대하여 f′(1) = 9 이고, 구간 [0, 2]에서 f(x)의 최댓값은 24이다.
→ 상수 a, b에 대하여 ab의 값은? (객관식 5지선다)

먼저 풀이영상으로 감을 잡고 싶다면

문제를 읽자마자

출제의도

조건 두 개를 순서를 지켜 쓰는 문제 — f′(1)=9로 a, 최댓값 24로 b

미지수 2개에 조건 2개, 언뜻 연립방정식처럼 보이지만 두 조건은 동등하지 않습니다. b는 상수항이라 미분하면 사라지므로 f′(1)=9에는 a만 들어 있고, a가 정해진 뒤에야 구간 [0, 2]에서의 증감을 판단할 수 있습니다. 순서를 거꾸로 잡으면 “어디서 최댓값을 갖는지” 자체를 결정할 수 없어 막힙니다. 조건을 쓰는 순서를 설계하는 것이 이 문제의 핵심입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 미지수가 하나뿐인 조건부터
두 조건 중 미지수가 하나만 들어 있는 쪽을 먼저 쓰세요.
f′(x) = 3x² + 2ax 에는 b가 없습니다. 여기에 x=1을 대입한 식은 a에 대한 일차방정식입니다. 먼저 a부터 확정하세요.
힌트 2 — 구간 위에서 부호를 본다
a=3이면 f′(x) = 3x² + 6x = 3x(x+2)입니다.
f′(x)=0의 해는 x=0, x=−2이지만 −2는 구간 밖입니다. 그리고 0 ≤ x ≤ 2에서는 3x도 (x+2)도 모두 0 이상이므로 f′(x) ≥ 0. 이 구간에서 f는 어떤 모양인가요?
힌트 3 — 마지막 한 걸음
구간 전체에서 증가하므로 최댓값은 오른쪽 끝 x=2에서 나옵니다. f(2) = 8 + 12 + b = b + 20 = 24.
b를 구한 뒤, 문제가 물은 것이 b가 아니라 ab라는 것을 확인하세요. 앞에서 구한 a가 다시 필요합니다.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 ④  a=3, b=4 이므로 ab = 12

쎈 미적분1 0601번 해설

풀이영상

더 빠른 길 — 증감표를 그리지 않는다

[0, 2]에서 f′(x)=3x(x+2)는 x=0에서만 0이고 나머지 구간에서 양수이므로 f는 이 구간에서 단조증가합니다.
구간 안에서 f′의 부호가 바뀌지 않으면 최대·최소는 반드시 양 끝점에서 나옵니다. 즉 최댓값 = f(2), 최솟값 = f(0). 표를 그릴 필요 없이 f(2)=24 한 줄로 b=4가 나옵니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • f′(1)=9를 f(1)=9로 읽는다
    도함수에 대한 조건입니다. f(1)로 쓰면 1+a+b=9가 되어 미지수 두 개가 한 식에 묶이고, 최댓값 조건도 a를 모르는 상태라 진행이 막힙니다. 프라임 기호를 먼저 확인하세요.
  • x = −2를 증감표에 넣는다
    f′(x)=0의 해라도 구간 [0, 2] 밖이면 이 문제와 무관합니다. 해를 구한 직후 구간에 넣어 보는 검사를 거르지 마세요.
  • f′(0)=0이니 x=0이 최댓값 후보라고 여긴다
    구간 안에서 f′ ≥ 0이므로 x=0은 오히려 가장 낮은 지점입니다. f′=0이라는 사실만으로 극대라고 단정하지 말고, 좌우 부호 또는 구간 전체의 부호를 확인하세요.
  • a를 구하기 전에 최댓값 조건을 먼저 쓴다
    a를 모르면 f′의 인수분해도, 증감의 방향도, 최댓값이 나오는 지점도 정할 수 없습니다. 이 문제는 조건을 쓰는 순서를 바꿀 수 없습니다.
  • b = 4까지 구하고 멈춘다
    구한 것은 b입니다. 답은 ab이므로 앞에서 구한 a=3을 곱해 12를 만들어야 합니다. 선지에 4가 없다는 이유로 뒤늦게 알아채는 일이 잦은 지점입니다.

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