쎈수학 미적분Ⅰ · 05 도함수의 활용
0587
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극값의 위치 조건
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함수 f(x)=x³+(a+1)x²+ax+3이 −2<x<−1에서 극댓값을 갖고, x>−1에서 극솟값을 갖도록 하는 실수 a의 값의 범위는?
- ① −2<a<1/2
- ② −2<a<1
- ③ 1<a<8/3
- ④ 1<a<3
- ⑤ 2<a<7/2
문제를 읽자마자
출제의도
극값의 위치를 묻는 문제는 f′의 근의 위치 문제로 바꿔 푼다
a가 문자로 들어 있어 f′(x)=0의 근을 직접 구하면 근호가 나와 손을 댈 수 없습니다. 대신 “극댓값이 −2와 −1 사이, 극솟값이 −1 오른쪽”이라는 문장을 “이차함수 y=f′(x)의 두 근이 −1을 사이에 두고, 작은 근은 −2보다 크다”로 번역하면 대입 두 번으로 끝납니다. 근의 위치 판정은 근을 구하지 않고 그래프의 값을 본다가 원칙입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 극댓값·극솟값의 순서를 그림으로
삼차항의 계수가 양수(+1)이므로 f는 증가 → 감소 → 증가입니다. 즉 f′(x)=0의 두 근을 α<β라 하면 x=α에서 극대, x=β에서 극소입니다.
따라서 조건은 −2<α<−1 그리고 β>−1. 두 근이 −1을 사이에 두고 갈라져 있어야 합니다.
따라서 조건은 −2<α<−1 그리고 β>−1. 두 근이 −1을 사이에 두고 갈라져 있어야 합니다.
힌트 2 — 두 근이 −1을 사이에 둔다는 뜻
f′(x)=3x²+2(a+1)x+a는 아래로 볼록합니다. 아래로 볼록한 포물선은 두 근 사이에서만 값이 음수입니다.
그러므로 x=−1이 두 근 사이에 있다는 것은 f′(−1)<0 한 줄과 같은 말입니다. 이 부등식만으로 판별식 D>0도 자동으로 보장됩니다.
그러므로 x=−1이 두 근 사이에 있다는 것은 f′(−1)<0 한 줄과 같은 말입니다. 이 부등식만으로 판별식 D>0도 자동으로 보장됩니다.
힌트 3 — 남은 조건은 하나
α>−2를 넣으려면 x=−2가 작은 근보다 왼쪽, 즉 두 근의 바깥쪽이어야 하므로 f′(−2)>0입니다.
f′(−2)=8−3a, f′(−1)=1−a를 각각 계산해 두 부등식을 세운 뒤 공통범위를 잡으세요.
f′(−2)=8−3a, f′(−1)=1−a를 각각 계산해 두 부등식을 세운 뒤 공통범위를 잡으세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ③
왜 판별식을 따로 쓰지 않는가 — 30초 정리
근의 위치 문제를 배울 때 “D>0, 축의 위치, 경계에서의 값” 세 가지를 모두 확인하라고 배웁니다. 그런데 f′(−1)<0처럼 어떤 한 점에서 함숫값이 음수이면 그 포물선은 x축을 이미 두 번 뚫고 지나간 것이므로 D>0은 저절로 성립합니다.
경계에서의 값 부등식이 서로 다른 부호로 주어질 때는 판별식·축 조건을 생략해도 된다는 것을 알아두면 계산량이 절반으로 줄어듭니다. 반대로 f′(−2)>0, f′(−1)>0처럼 같은 부호로만 주어질 때는 반드시 D>0과 축 조건을 함께 써야 합니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
극대와 극소의 순서를 뒤집는다
최고차항 계수가 양수인 삼차함수는 작은 근에서 극대, 큰 근에서 극소입니다. 여기서 순서가 뒤집히면 −2<β, α>−1 같은 엉뚱한 식이 나와 ②나 ④로 끌려갑니다. 부호가 음수인 문항과 섞여 나오므로 매번 최고차항 계수를 먼저 확인하세요. -
f′(−1)<0의 부등호를 반대로 쓴다
아래로 볼록한 포물선은 두 근 사이에서만 음수입니다. −1이 두 근 사이라면 값은 음수, 즉 f′(−1)<0입니다. 여기서 >0으로 쓰면 −1이 두 근의 바깥이라는 정반대 조건이 됩니다. -
f′(−2)에서 대입 계산을 흘린다
f′(−2)=3·4+2(a+1)(−2)+a=12−4a−4+a=8−3a입니다. −2를 제곱해 12를 만드는 자리와, −2(a+1)을 두 배 하는 자리에서 부호 사고가 잦습니다. 8−3a>0에서 a<8/3. -
f′(−1)=1−a를 −1−a로 적는다
f′(−1)=3·1+2(a+1)(−1)+a=3−2a−2+a=1−a입니다. 1−a<0에서 a>1. 상수항 3과 −2가 만나 1이 되는 부분을 눈으로만 넘기지 말고 한 줄 적어 두세요. -
부등식 두 개를 따로 답한다
a<8/3과 a>1은 각각의 답이 아니라 동시에 만족해야 하는 조건입니다. 공통범위 1<a<8/3을 수직선에 그려 확인하세요. 8/3≈2.67이므로 ⑤(2<a<7/2)와 겹치는 구간이 있어 눈대중으로 고르면 틀립니다. -
−1 자체가 극값을 주는 경우를 걱정한다
f′(−1)<0에는 등호가 없으므로 x=−1은 애초에 근이 될 수 없습니다. 문제의 두 구간이 각각 −2<x<−1, x>−1로 −1을 빼놓고 있는 것과 정확히 맞아떨어집니다.