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쎈수학 미적분Ⅰ · 05단원 도함수의 활용
0586
난이도 중
삼차함수가 주어진 구간에서 극값을 가질 조건
풀이영상 있음
난이도 중
삼차함수가 주어진 구간에서 극값을 가질 조건
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함수 f(x)=x³+ax²−ax가 x>−1에서 극댓값과 극솟값을 모두 가질 때, 다음 중 실수 a의 값이 될 수 없는 것은?
① −5② −7/2③ −2④ 1/4⑤ 1/2
문제를 읽자마자
출제의도
구간이 반직선으로 열려 있어도 조사할 것은 똑같은 세 가지
앞 문제의 구간 (−2, 0)이 여기서는 x>−1로 바뀌었을 뿐입니다. 오른쪽 끝이 없으니 확인할 경계는 x=−1 하나이고, 대신 두 근이 모두 −1보다 크려면 축도 −1보다 오른쪽에 있어야 합니다. 판별식 · f′(−1)의 부호 · 축의 위치 세 줄을 세우면 a의 범위가 두 덩어리로 나옵니다. 마지막 함정은 “될 수 있는 것”이 아니라 될 수 없는 것을 고르라는 발문입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 보기를 하나씩 대입하기 전에
5개를 전부 대입해 볼 생각이라면 잠깐 멈추세요. a의 범위를 먼저 구하면 대입은 한 번도 필요하지 않습니다.
f′(x)=3x²+2ax−a로 두고, f′(x)=0의 두 실근이 모두 −1보다 크다는 조건을 그림으로 옮겨 보세요. 아래로 볼록한 포물선이 x=−1의 오른쪽에서만 x축을 두 번 지나는 그림입니다.
f′(x)=3x²+2ax−a로 두고, f′(x)=0의 두 실근이 모두 −1보다 크다는 조건을 그림으로 옮겨 보세요. 아래로 볼록한 포물선이 x=−1의 오른쪽에서만 x축을 두 번 지나는 그림입니다.
힌트 2 — 판별식과 경계값
(i) 서로 다른 두 실근: D/4=a²+3a>0 ⟹ a(a+3)>0 ⟹ a<−3 또는 a>0.
(ii) 두 근이 모두 −1보다 크면 x=−1은 근의 바깥이므로 f′(−1)>0. f′(−1)=3−2a−a=3−3a이므로 a<1.
여기까지만 해도 보기 하나가 이미 걸러집니다.
(ii) 두 근이 모두 −1보다 크면 x=−1은 근의 바깥이므로 f′(−1)>0. f′(−1)=3−2a−a=3−3a이므로 a<1.
여기까지만 해도 보기 하나가 이미 걸러집니다.
힌트 3 — 축 조건과 마무리
(iii) y=f′(x)의 축은 x=−a/3이고, 이것이 −1보다 오른쪽이어야 하므로 −a/3>−1 ⟹ a<3. 양변에 −3을 곱할 때 부등호 방향이 바뀝니다.
세 조건의 공통범위는 a<−3 또는 0<a<1. 이제 보기 5개 중 이 범위에 들어가지 않는 하나를 찾으세요. −7/2가 −3보다 작다는 점도 확인하세요.
세 조건의 공통범위는 a<−3 또는 0<a<1. 이제 보기 5개 중 이 범위에 들어가지 않는 하나를 찾으세요. −7/2가 −3보다 작다는 점도 확인하세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ③ a<−3 또는 0<a<1 이므로 −2는 불가
풀이영상
다른 풀이 — 축·경계값 대신 근과 계수의 관계
두 근을 α, β라 하면 α+β=−2a/3, αβ=−a/3. 두 근이 모두 −1보다 크다는 것은 α+1>0, β+1>0, 즉 두 수의 합과 곱이 모두 양수라는 뜻입니다.
(α+1)+(β+1)=−2a/3+2>0 ⟹ a<3, (α+1)(β+1)=αβ+α+β+1=1−a>0 ⟹ a<1.
여기에 D/4=a²+3a>0을 더하면 같은 답이 나옵니다. 축·경계값 그림이 헷갈릴 때 대신 쓸 수 있는 계산 루트입니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
a(a+3)>0을 −3<a<0으로 푼다
이차식이 양수인 구간은 두 근의 바깥입니다. a<−3 또는 a>0. 이 한 줄이 뒤집히면 정답이 ③이 아니라 ①이나 ⑤로 보이게 됩니다. -
f′(−1) 계산에서 −a의 부호를 흘린다
f′(x)=3x²+2ax−a에 x=−1을 넣으면 3−2a−a=3−3a입니다. 마지막 상수항 −a를 빼먹고 3−2a로 쓰면 a<3/2가 되어 범위가 넓어집니다. -
축 조건에서 부등호 방향을 그대로 둔다
−a/3>−1의 양변에 −3을 곱하면 방향이 바뀌어 a<3입니다. a>3으로 쓰면 이후 공통범위가 공집합처럼 보입니다. -
세 조건을 합집합으로 묶는다
(i)(ii)(iii)은 동시에 성립해야 하므로 교집합입니다. a<−3 또는 0<a<1. 하나만 만족하는 값을 답에 넣으면 −2가 통과해 버립니다. -
“될 수 없는 것”을 “될 수 있는 것”으로 읽는다
범위에 들어가는 −5, −7/2, 1/4, 1/2를 지우고 남는 하나가 답입니다. 부정형 발문은 보기 옆에 통과/탈락을 O·X로 표시하면서 지워 나가세요. -
−7/2와 −3의 크기를 잘못 본다
−7/2=−3.5이므로 −3보다 작아 a<−3을 만족합니다. 분수 보기는 소수로 바꿔 수직선에 찍어 놓고 판정하세요.
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