쎈수학 미적분Ⅰ · 05 도함수의 활용 · 유형11 도함수의 그래프의 해석(2)
0575
대표 문제
f′의 부호와 개형
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대표 문제
f′의 부호와 개형
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문제를 읽자마자
출제의도
f′(x)=0인 점이 아니라, f′(x)의 부호가 바뀌는 점만 극값이다
y=f′(x)의 그래프가 x축과 만나는 x좌표는 −1, 3입니다. 그런데 −1의 좌우는 둘 다 x축 아래(−), 3의 좌우는 −에서 +로 바뀝니다. 이 한 가지 차이가 선지 다섯 개를 걸러내는 기준 전부입니다. 개형을 그리는 문제가 아니라 부호표를 쓰는 문제입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 무엇을 읽어야 하나
이 그래프에서 읽어야 하는 정보는 x축의 위냐 아래냐 하나뿐입니다. f′의 그래프가 올라가는지 내려가는지는 지금 필요 없습니다.
먼저 f′(x)=0이 되는 x를 모두 적어 보세요.
먼저 f′(x)=0이 되는 x를 모두 적어 보세요.
힌트 2 — 부호표 쓰기
x=−1, x=3 두 칸을 만들고 그 사이·양옆에서 f′의 부호를 채워 넣으세요.
x<−1에서 그래프는 x축 아래, −1<x<3에서도 여전히 x축 아래, x>3에서 위입니다. 즉 −, 0, −, 0, +.
부호가 실제로 바뀐 곳은 어디 한 군데뿐인가요?
x<−1에서 그래프는 x축 아래, −1<x<3에서도 여전히 x축 아래, x>3에서 위입니다. 즉 −, 0, −, 0, +.
부호가 실제로 바뀐 곳은 어디 한 군데뿐인가요?
힌트 3 — 선지 걸러내기
f(x)는 x<3 전체에서 계속 감소하고, x=3에서 극소, 그 뒤로 증가합니다. x=−1에서는 접선만 수평이 되고 방향은 바뀌지 않습니다.
따라서 ① x=−1에서 극값이 생긴 그래프, ② 극값이 두 개 이상인 그래프, ③ x=−1에서 꺾인 그래프는 모두 탈락입니다. 남는 것은 하나입니다.
따라서 ① x=−1에서 극값이 생긴 그래프, ② 극값이 두 개 이상인 그래프, ③ x=−1에서 꺾인 그래프는 모두 탈락입니다. 남는 것은 하나입니다.
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정답 ②
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더 빠른 길 — 중근이면 극값 없음
y=f′(x)는 x=−1에서 x축에 닿고 x=3에서 뚫고 올라갑니다. 즉 f′(x)=a(x+1)²(x−3), a>0 꼴입니다.
인수가 짝수 제곱(중근)이면 그 점에서 부호가 유지되어 극값이 없고, 홀수 제곱(단근)이면 부호가 바뀌어 극값이 생깁니다. 이 한 줄로 x=−1은 극값 아님, x=3은 극소가 즉시 결정됩니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
f′(x)=0이면 극값이라고 생각한다
극값의 조건은 “0이 되는 것”이 아니라 “0을 지나며 부호가 바뀌는 것”입니다. x=−1은 f′(−1)=0이지만 극값이 아닙니다. -
f′의 그래프를 f의 그래프로 착각한다
주어진 그림에서 f′이 −1 부근에서 올라갔다 내려가지만, 그 구간에서 f는 계속 감소합니다. 읽을 것은 높낮이가 아니라 x축 기준 위·아래입니다. -
x=−1에서 꺾이게 그린 선지를 고른다
f′(−1)=0이므로 그 점의 접선은 수평입니다. 뾰족하게 꺾인(미분가능하지 않은) 개형은 다항함수의 그래프가 될 수 없습니다. -
증감표를 생략하고 눈으로 고른다
선지 다섯 개가 비슷하게 생긴 문제입니다. −, 0, −, 0, + 세 줄 표를 쓰는 20초가 오답을 막습니다. -
극소와 극대를 뒤집어 읽는다
−에서 +로 바뀌면 극소(골짜기), +에서 −로 바뀌면 극대(봉우리)입니다. x=3은 극소이므로 그 뒤가 올라가는 개형이어야 합니다.
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