쎈수학 미적분Ⅰ · 05단원 · 유형 10 도함수의 그래프의 해석 (1)
0573
난이도 중
f′(x)=0이지만 극값이 아닌 점
풀이영상 있음
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f′(x)=0이지만 극값이 아닌 점
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문제를 읽자마자
출제의도
f′(x)=0이어도 부호가 바뀌지 않으면 극값이 아니다
f′의 그래프가 x축과 만나는 점은 −2, 2, 4로 세 개인데, 그중 x=2는 닿고 다시 올라가는 점입니다. 즉 f′(2)=0이지만 앞뒤가 모두 양수라 f는 x=2에서 극값을 갖지 않습니다. 여기에 조건 f(−2)=0을 얹어, 극솟값이 0이면 그래프가 x축에 접한다는 것까지 묻습니다. 문제에 f(−2)=0이 왜 붙어 있는지를 눈치채는 것이 출발점입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 세 점을 똑같이 대하지 마라
f′(x)=0인 x는 −2, 2, 4입니다. 여기서 멈추지 말고 각 점마다 왼쪽 부호와 오른쪽 부호를 따로 적어 보세요.
x=2 근처에서 f′의 그래프는 x축 아래로 내려가나요? 그림을 다시 보세요.
x=2 근처에서 f′의 그래프는 x축 아래로 내려가나요? 그림을 다시 보세요.
힌트 2 — 극값과 미분가능은 다른 이야기
x=2에서 부호가 + → + 이므로 극값이 아닙니다. 그런데 보기 ㄴ은 극값을 묻는 게 아니라 미분가능성을 묻습니다.
f′(2)의 값이 그림에서 읽히나요? 읽힌다면 그 자체로 f는 x=2에서 미분가능합니다.
f′(2)의 값이 그림에서 읽히나요? 읽힌다면 그 자체로 f는 x=2에서 미분가능합니다.
힌트 3 — f(−2)=0을 어디에 쓰나
증감표에서 x=−2는 −에서 +로 바뀌는 자리, 즉 극소입니다. 그 극솟값이 마침 0이라고 주어졌습니다.
y좌표가 0인 점에서 최저점을 찍고 다시 올라간다면, y=f(x)의 그래프와 x축의 위치 관계는 무엇일까요?
y좌표가 0인 점에서 최저점을 찍고 다시 올라간다면, y=f(x)의 그래프와 x축의 위치 관계는 무엇일까요?
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ④ ㄱ, ㄴ, ㄹ
풀이영상
더 빠른 길 — f의 그래프를 한 번 그리면 네 개가 끝난다
x=−2에서 x축에 닿으며 골, 이후 계속 증가(x=2에서는 잠깐 기울기 0으로 평평해질 뿐 계속 상승), x=4에서 봉우리, 그 뒤 하강.
이 한 장의 스케치 위에서 ㄱ(x=4 극대 ○), ㄴ(x=2 매끄러움 ○), ㄷ((0, 2)에서 상승 ×), ㄹ(x=−2에서 접함 ○)이 동시에 판정됩니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
f′(x)=0인 점을 모두 극값으로 센다
x=2는 f′이 x축에 닿기만 하고 부호가 바뀌지 않으므로 극값이 아닙니다. “0이 되는 점”과 “부호가 바뀌는 점”을 반드시 구분해 표시하세요. -
극값이 아니면 미분불가능하다고 생각한다
두 개념은 아무 관계가 없습니다. 그림에서 f′(2)=0이라는 값이 읽히므로 f는 x=2에서 미분가능합니다. -
f′의 그래프가 내려가는 구간을 f의 감소로 읽는다
구간 (0, 2)에서 f′의 그래프는 내려가지만 값은 계속 양수입니다. 값이 양수인 동안 f는 증가합니다. ㄷ이 틀린 이유가 정확히 이것입니다. -
f(−2)=0 조건을 끝까지 쓰지 않는다
단서로 붙은 조건은 반드시 어느 보기에서 쓰입니다. 이 문제에서는 ㄹ 판정의 유일한 근거입니다. 조건을 쓰지 않은 보기가 남았는지 점검하세요. -
x=4 오른쪽 부호를 확인하지 않고 극대·극소를 정한다
x=4 이후 f′<0이므로 + → −, 즉 극대입니다. 그래프의 오른쪽 끝이 잘려 보여도 부호는 반드시 읽고 넘어가세요.
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