쎈수학 미적분Ⅰ · 05 도함수의 활용
0568
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두 도함수의 차와 극값
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문제를 읽자마자
출제의도
h′=f′−g′이므로, 두 그래프의 교점이 h′의 영점 — 위아래 관계가 h′의 부호다
그림에는 x축과 만나는 점(a, c 등)과 두 곡선이 서로 만나는 점이 섞여 있습니다. h(x)=f(x)−g(x)를 미분하면 h′(x)=f′(x)−g′(x)이므로, h′(x)=0이 되는 곳은 x축 교점이 아니라 f′과 g′이 만나는 곳입니다. 그리고 h′(x)>0은 “f′의 그래프가 g′의 그래프보다 위”라는 말과 같습니다. 계산은 한 줄도 필요하지 않고, 어느 쪽이 위인지만 읽으면 증감표가 완성됩니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — h′(x)=0인 곳을 그림에서 찾기
f, g의 식을 세우려 하고 있다면 멈추세요. 삼차·사차라는 정보는 그래프의 개수를 확인하는 용도일 뿐입니다.
h′(x)=f′(x)−g′(x)이므로 h′(x)=0 ⟺ f′(x)=g′(x). 즉 두 곡선의 교점의 x좌표를 찾으세요. a나 c처럼 x축과 만나는 점은 여기서 쓸 일이 없습니다.
h′(x)=f′(x)−g′(x)이므로 h′(x)=0 ⟺ f′(x)=g′(x). 즉 두 곡선의 교점의 x좌표를 찾으세요. a나 c처럼 x축과 만나는 점은 여기서 쓸 일이 없습니다.
힌트 2 — 부호는 위아래로 읽는다
교점이 x=b, d, e 세 개라면 구간은 네 개로 나뉩니다. 각 구간에서 f′의 그래프가 위면 h′>0, g′의 그래프가 위면 h′<0입니다.
+, −, +, − 처럼 부호를 순서대로 적어 보세요. 값을 계산할 필요는 전혀 없습니다.
+, −, +, − 처럼 부호를 순서대로 적어 보세요. 값을 계산할 필요는 전혀 없습니다.
힌트 3 — 증감표로 마무리
h′의 부호를 표에 옮기면 x=b에서 양→음, x=d에서 음→양, x=e에서 양→음입니다.
음에서 양으로 바뀌는 곳이 극소입니다. 극대가 두 개, 극소가 한 개인 구조이니 답은 자동으로 하나로 정해집니다.
음에서 양으로 바뀌는 곳이 극소입니다. 극대가 두 개, 극소가 한 개인 구조이니 답은 자동으로 하나로 정해집니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ④ x = d
풀이영상
구조로 검산하기
f는 삼차이므로 f′은 이차, g는 사차이므로 g′은 삼차입니다. 따라서 h′=f′−g′은 삼차함수이고 실근은 최대 3개 — 그림에서 읽은 교점 b, d, e 세 개와 정확히 맞습니다.
또 h′은 삼차이므로 부호는 최대 세 번만 바뀔 수 있고, 실제로 +, −, +, − 로 세 번 바뀌었습니다. 극대·극소가 번갈아 나오므로 극대 2개, 극소 1개가 되어 극소는 가운데 x=d 하나뿐임이 구조적으로 확인됩니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
x축과의 교점을 h′의 영점으로 착각한다
a, c 같은 점은 f′(x)=0 또는 g′(x)=0인 자리, 즉 f나 g 각각의 극값 위치입니다. h의 극값과는 무관합니다. h′=0은 반드시 두 곡선의 교점입니다. -
f−g의 그래프를 머릿속에 그리려 한다
주어진 것은 f, g가 아니라 f′, g′의 그래프입니다. 두 도함수의 차를 다루면 될 일을 원래 함수로 되돌리면 그림이 하나도 남지 않습니다. -
부호를 계산으로 확인하려 한다
구간 하나마다 값을 대입할 필요가 없습니다. 그 구간에서 어느 곡선이 위에 있는지만 보면 h′의 부호가 즉시 결정됩니다. 손이 아니라 눈으로 푸는 문제입니다. -
극소를 물었는데 극대를 고른다
b와 e는 양→음이므로 극대입니다. 부호가 세 번 바뀌면 극대·극소·극대가 되므로 극소 후보는 가운데 하나뿐입니다. 선택지 ②·⑤가 바로 이 실수를 노린 자리입니다. -
교점을 눈대중으로 세다가 하나를 빠뜨린다
f′은 이차, g′은 삼차이므로 h′은 삼차 — 교점은 최대 3개입니다. 2개만 찾았다면 그래프를 다시 보세요. 차수로 개수를 검산하는 습관이 이런 그래프 문제에서 가장 강력합니다.