쎈수학 미적분Ⅰ · 05 도함수의 활용
0567
난이도 하
도함수 그래프와 극값의 개수
풀이영상 있음
난이도 하
도함수 그래프와 극값의 개수
풀이영상 있음
먼저 풀이영상으로 감을 잡고 싶다면
문제를 읽자마자
출제의도
x축과 만나는 점 6개를 세라는 문제가 아니다 — 부호가 바뀌는 점만 세라는 문제
a1부터 a6까지 여섯 개를 친절하게 이름 붙여 준 이유는, 그중 극값을 주지 못하는 것이 섞여 있기 때문입니다. f′(x)=0은 극값의 필요조건일 뿐이고, 실제 판정 기준은 그 점의 좌우에서 f′의 부호가 바뀌는지 하나입니다. 그래프가 x축을 뚫고 지나가는가, 닿고 되돌아가는가를 여섯 곳에서 구별하는 것이 이 문제 전부입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 판정 기준을 다시 확인
m=6, n=0처럼 개수를 통째로 세고 있다면 기준이 틀렸습니다.
f(x)가 x=k에서 극값을 가지려면 f′(k)=0만으로는 부족하고, x=k의 좌우에서 f′(x)의 부호가 바뀌어야 합니다. 부호가 그대로면 f는 그 점에서 잠깐 멈췄다가 같은 방향으로 계속 갑니다.
f(x)가 x=k에서 극값을 가지려면 f′(k)=0만으로는 부족하고, x=k의 좌우에서 f′(x)의 부호가 바뀌어야 합니다. 부호가 그대로면 f는 그 점에서 잠깐 멈췄다가 같은 방향으로 계속 갑니다.
힌트 2 — 그래프에 부호를 직접 적어라
a1~a6으로 나뉜 7개 구간마다 f′(x)가 x축 위인지 아래인지를 +, −로 적어 보세요.
그림을 보면 +, −, +, +, −, −, + 가 됩니다. 같은 부호가 두 번 연달아 나오는 자리가 바로 “닿고 되돌아간” 점입니다.
그림을 보면 +, −, +, +, −, −, + 가 됩니다. 같은 부호가 두 번 연달아 나오는 자리가 바로 “닿고 되돌아간” 점입니다.
힌트 3 — 방향까지 구분하기
부호가 양에서 음으로 바뀌면 증가 후 감소이므로 극대, 음에서 양으로 바뀌면 감소 후 증가이므로 극소입니다.
부호가 바뀌지 않은 점은 개수에서 아예 빼세요. 그리고 마지막에 m−n인지 m+n인지 문제를 다시 읽으세요.
부호가 바뀌지 않은 점은 개수에서 아예 빼세요. 그리고 마지막에 m−n인지 m+n인지 문제를 다시 읽으세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 0 (m=2, n=2)
풀이영상
정리해 두면 좋은 표
a1 양→음 극대 / a2 음→양 극소 / a3 양→양 극값 아님 / a4 양→음 극대 / a5 음→음 극값 아님 / a6 음→양 극소.
접하는 점(a3, a5)은 f′(x)=0의 중근에 해당합니다. 도함수 그래프 문제에서 “x축에 접한다”는 표현을 보면 곧바로 극값 후보에서 제외하는 습관을 들이세요.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
f′(x)=0인 점의 개수를 그대로 극값의 개수로 센다
a3, a5는 f′(x)=0이지만 부호가 바뀌지 않아 극값이 아닙니다. 이 문제가 여섯 개를 굳이 이름 붙인 이유가 바로 이 함정입니다. -
f′의 그래프에서 봉우리와 골짜기를 f의 극대·극소로 본다
지금 보고 있는 것은 f가 아니라 f′의 그래프입니다. f′의 극대·극소는 f의 변곡점 위치일 뿐, f의 극값과는 무관합니다. 극값은 항상 “x축과의 관계”로 판단하세요. -
양→음과 음→양의 방향을 반대로 외운다
f′>0은 증가, f′<0은 감소입니다. 증가 뒤 감소면 봉우리, 즉 극대(양→음). 헷갈리면 부호 대신 화살표 ↗ ↘를 그려 보면 즉시 보입니다. -
구간의 끝 x=a, x=b를 극값으로 센다
끝점에서는 한쪽 부호만 존재하므로 좌우 비교가 불가능합니다. 문제도 [a, b]에서의 극대·극소를 물었을 뿐이니 후보는 a1~a6 여섯 개뿐입니다. -
m−n을 m+n으로 계산한다
m=2, n=2까지 정확히 구해 놓고 4를 적으면 전부 무의미해집니다. 답을 쓰기 전에 문제의 마지막 줄만 다시 읽는 3초를 넣으세요.