쎈미적분1 0551

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쎈수학 미적분Ⅰ · 05 도함수의 활용 · 유형 06 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정

0551
대표 문제
극값 조건으로 미정계수 결정
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쎈 미적분1 0551번 문제

문제를 읽자마자

출제의도

“x=1에서 극댓값 6” 한 문장을 두 개의 식으로 번역하라

미지수가 a, b 두 개이므로 식도 두 개가 필요합니다. 극값 조건은 언제나 값 조건 f(1)=6과 미분 조건 f′(1)=0이 한 쌍으로 따라옵니다. 이 유형의 대표 문제인 만큼, 두 식을 세우는 순간 나머지는 연립방정식과 증감표 확인뿐입니다. 다만 최고차항 계수가 음수인 삼차함수라는 점이 마지막 판정에서 함정으로 작동합니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 조건을 식으로
“x=1에서 극댓값 6을 갖는다”는 두 가지를 동시에 말하고 있습니다.
하나는 그 점의 함숫값이 6이라는 것, 즉 f(1)=6. 다른 하나는 그 점이 극값이라는 것, 즉 f′(1)=0. 미지수가 둘이니 식도 둘이어야 한다는 점을 기억하세요.
힌트 2 — 연립해서 계수 찾기
f′(x)=−3x²+a 이므로 f′(1)=−3+a=0. 그리고 f(1)=−1+a+b=6.
여기서 a=3, b=4가 나옵니다. 이제 f(x)=−x³+3x+4로 식이 완전히 확정되었습니다. 문제가 묻는 것은 계수가 아니라 극솟값이므로, 여기서 멈추면 안 됩니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
f′(x)=−3x²+3=−3(x+1)(x−1) 이므로 극값 후보는 x=−1과 x=1입니다.
−3이 앞에 붙어 있으니 f′의 부호는 −, +, − 순서입니다. 따라서 x=1이 극대, x=−1이 극소입니다. f(−1)을 계산하되 −(−1)³의 부호에 주의하세요.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 2  (a=3, b=4)

쎈 미적분1 0551번 해설 1
쎈 미적분1 0551번 해설 2

풀이영상

30초 검산 — 극대와 극소의 대칭

f(x)=−x³+3x+4는 변곡점 (0, 4)에 대해 점대칭입니다. 극대점 (1, 6)과 극소점 (−1, 2)는 이 점을 중심으로 마주 보고 있으므로 (극댓값+극솟값)÷2 = 상수항 4가 성립합니다.
6+극솟값=8, 즉 극솟값 2. 계산이 맞았는지 한 줄로 확인할 수 있고, 극대·극소를 뒤바꿔 잡았는지도 이 관계로 즉시 드러납니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • f′(1)=0만 쓰고 f(1)=6을 빠뜨린다
    미지수가 두 개면 식도 두 개입니다. 극값 조건은 “값”과 “미분계수” 두 정보를 함께 준다는 것을 조건 자체에서 읽어내야 합니다.
  • 극댓값 6을 f′(1)=6으로 옮겨 적는다
    극댓값은 함숫값입니다. 미분계수가 6이라는 뜻이 아닙니다. 이 한 글자 차이로 a, b가 모두 달라집니다.
  • a=3, b=4를 구하고 답으로 쓴다
    문제가 요구한 것은 극솟값입니다. 계수는 중간 결과일 뿐이고, 구한 값을 원래 식에 대입해 f′(x)=0을 다시 풀어야 합니다.
  • x=−1을 극대로 잡는다
    f′(x)=−3(x+1)(x−1)에서 −3 때문에 부호 배열이 −, +, −로 뒤집힙니다. 왼쪽 x=−1이 극소, 오른쪽 x=1이 극대입니다. 최고차항이 음수인 삼차함수는 “먼저 내려가고 나중에 올라간다”고 기억하세요.
  • f(−1) 계산에서 부호가 어긋난다
    f(−1)=−(−1)³+3(−1)+4 = 1−3+4 = 2입니다. 첫 항의 이중 부호를 놓쳐 −1로 시작하면 답이 0으로 나옵니다.
  • 구한 식으로 문제 조건을 되짚지 않는다
    f(1)=−1+3+4=6, f′(1)=−3+3=0. 두 줄로 조건이 회복되는지 확인하면 계수 오류를 바로 잡을 수 있습니다.


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