쎈미적분1 0549

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쎈수학 미적분Ⅰ · 05 도함수의 활용

0549
난이도 중
서술형
사차함수의 극값과 넓이
풀이영상 있음

쎈 미적분1 0549번 문제

문제를 읽자마자

출제의도

극대·극소가 되는 점은 곧 삼각형의 세 꼭짓점 좌표

넓이를 묻고 있지만 도형 문제가 아닙니다. f′(x)=0의 세 근에서 x좌표를, f(x)에 대입해 y좌표를 얻으면 A, B, C가 그대로 나옵니다. 계수가 −4/81, 8/9로 지저분한 것은 극점의 좌표를 정수로 떨어뜨리기 위한 장치일 뿐입니다. 서술형이므로 증감표까지 적어 극대·극소를 판정하는 과정이 배점의 60%입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 방향부터 잡기
그래프 개형을 감으로 그리려 하지 마세요. 먼저 미분입니다.
f′(x)=−16/81·x³+16/9·x 에서 −16/81로 묶어내면 남는 괄호가 어떤 모양이 되나요? 16/9 = (16/81)×9 라는 점을 이용하세요.
힌트 2 — 세 점의 좌표
f′(x)=−16/81·x(x+3)(x−3) 이므로 x=−3, 0, 3에서 극값 후보가 생깁니다.
f(x)는 x⁴, x² 항만 있는 우함수라 y축 대칭입니다. 그러니 f(−3)과 f(3)은 계산 한 번이면 충분합니다. f(3) = −4/81·81 + 8/9·9 는 얼마인가요?
힌트 3 — 마지막 한 걸음
A(−3, 4), B(0, 0), C(3, 4)를 좌표평면에 찍어 보세요. A와 C의 y좌표가 같으므로 선분 AC를 밑변으로 잡는 것이 가장 편합니다.
밑변의 길이는 3−(−3), 높이는 4−0입니다. 그리고 서술형이므로 증감표를 반드시 답안에 적으세요.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 12

쎈 미적분1 0549번 해설

풀이영상

계산을 반으로 줄이는 길 — 대칭성

f(x)에는 짝수 차수 항만 있으므로 f(−x)=f(x), 즉 그래프는 y축 대칭입니다. x≥0 구간만 조사해 x=0에서 극소 0, x=3에서 극대 4임을 확인하면 x=−3의 극댓값 4는 대칭으로 바로 얻어집니다.
또 △ABC는 A와 C가 y축에 대해 대칭인 이등변삼각형이므로, 넓이를 밑변 AC=6, 높이 4로 잡는 판단이 자연스럽게 따라옵니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • f′(x)를 묶어낼 때 계수를 틀린다
    16/9를 (16/81)×9로 바꾸는 한 줄이 핵심입니다. 이 변환을 건너뛰면 x²−9가 나오지 않아 근이 무리수처럼 보이고, 그 순간 문제를 포기하게 됩니다.
  • 최고차항 계수가 음수라는 것을 잊는다
    −16/81이 앞에 붙어 있어 f′의 부호가 통상과 반대로 배열됩니다. x=±3이 극대, x=0이 극소입니다. 부호를 뒤집어 잡으면 세 점의 y좌표는 같아도 서술이 전부 틀립니다.
  • 증감표 없이 좌표만 쓰고 넘어간다
    이 문항의 채점 기준은 극댓값·극솟값을 구하는 부분이 60%, 넓이가 40%입니다. 답 12를 맞혀도 증감표와 극대·극소 판정이 없으면 절반 이하만 받습니다.
  • f(−3)에서 (−3)⁴의 부호를 틀린다
    (−3)⁴=81로 양수입니다. −4/81×81=−4, 여기에 8/9×9=8을 더해 4입니다. 짝수 거듭제곱에서 음수 부호를 끌고 내려오면 −12가 나옵니다.
  • 밑변을 3으로 잡는다
    A(−3, 4)에서 C(3, 4)까지의 거리는 3−(−3)=6입니다. 절반만 세는 실수가 가장 흔하고, 그 결과 넓이가 6으로 나옵니다.
  • 높이를 극댓값 그 자체로만 생각한다
    높이는 밑변 AC(y=4)와 꼭짓점 B(y=0) 사이의 거리 4−0입니다. 이번에는 극솟값이 0이라 우연히 같지만, 극솟값이 0이 아닌 문항에서는 반드시 차를 구해야 합니다.


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