쎈미적분1 0544

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쎈수학 미적분Ⅰ · 05단원 · 유형 04 함수의 그래프와 증가·감소

0544
난이도 중
개념 05-2
{f(x)}²의 증가·감소
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쎈 미적분1 0544번 문제

문제를 읽자마자

출제의도

제곱한 함수의 증감은 f의 부호 × f′의 부호로 결정된다

y={f(x)}²을 미분하면 y′=2f(x)f′(x)입니다. 2는 언제나 양수이므로 감소하려면 f(x)와 f′(x)의 부호가 서로 달라야 합니다. 그래프 한 장에서 “x축 위인가 아래인가(f의 부호)”와 “올라가는가 내려가는가(f′의 부호)” 두 가지를 동시에 읽어내는 것이 이 문제의 전부입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 먼저 미분부터
f(x)의 식이 없다고 손을 놓지 마세요. 합성함수의 미분법으로 y′=2f(x)f′(x)까지는 식 없이도 쓸 수 있습니다.
감소하려면 y′<0이어야 하는데, 2는 항상 양수입니다. 그러면 f(x)와 f′(x)의 부호는 어떤 관계여야 할까요?
힌트 2 — 두 줄짜리 부호표
그래프 아래에 두 줄을 그리세요. 윗줄은 f(x)의 부호(x축 위면 +, 아래면 −), 아랫줄은 f′(x)의 부호(그래프가 올라가면 +, 내려가면 −)입니다.
a, c, e, g는 f의 부호가 바뀌는 점이고, b, d, f는 f′의 부호가 바뀌는 점입니다. 두 종류를 섞지 마세요.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
부호표를 다 채웠다면, 두 줄의 부호가 서로 다른 구간이 감소 구간입니다. (+,+)나 (−,−)는 모두 증가입니다.
선택지 (d, e)에서 그래프는 x축 아래에 있고(f<0), 최솟값에서 위로 올라오는 중입니다(f′>0). 이 조합의 곱은 어떤 부호인가요?

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 ③  구간 (d, e)

쎈 미적분1 0544번 해설 1
쎈 미적분1 0544번 해설 2

풀이영상

더 빠른 길 — x축에 가까워지는 구간 찾기

{f(x)}²은 f의 부호를 지우고 크기만 남기므로, |f(x)|가 작아지는 구간이 곧 감소 구간입니다. 즉 그래프가 x축에 가까워지는 구간을 눈으로 찾으면 끝입니다.
(a, b)·(e, f)는 x축에서 위로 멀어지고, (c, d)·(g, ∞)는 아래로 멀어집니다. x축에 가까워지는 것은 최솟값에서 영점 e로 올라오는 (d, e)뿐입니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • y′=2f(x)로 미분한다
    합성함수의 미분에서 안쪽 f′(x)가 빠지는 실수입니다. 정확히는 y′=2f(x)f′(x)이고, 이 문제는 그 f′(x) 때문에 성립합니다.
  • 그래프가 내려가면 제곱도 내려간다고 본다
    (c, d)가 대표적입니다. 그래프는 내려가지만 f<0, f′<0이라 곱은 양수, 즉 {f(x)}²은 증가합니다. 음수는 아래로 내려갈수록 제곱값이 커집니다.
  • (g, ∞)를 감소로 고른다
    같은 함정입니다. 최고차항 계수가 음수라 g 이후 그래프는 계속 내려가지만, f<0·f′<0이므로 제곱값은 오히려 커집니다.
  • a~g를 모두 같은 종류의 점으로 본다
    a, c, e, g는 f(x)=0인 점이고 b, d, f는 f′(x)=0인 점입니다. 두 종류를 섞어 구간을 잡으면 부호표가 통째로 어긋납니다.
  • f의 부호만 보고 판정한다
    “f<0이니 제곱하면 커진다”처럼 한쪽만 보면 절반은 틀립니다. 반드시 f와 f′ 두 부호를 곱해서 판단하세요.


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