쎈미적분1 0543

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쎈수학 미적분Ⅰ · 05단원 · 유형 04 함수의 그래프와 증가·감소

0543
난이도 중
개념 05-2
두 도함수의 대소
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쎈 미적분1 0543번 문제

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출제의도

h′(x)의 부호는 계산이 아니라 두 그래프의 위아래로 읽는다

h(x)=f(x)−g(x)이므로 h′(x)=f′(x)−g′(x)입니다. 이 값이 양수라는 말은 곧 y=f′(x)의 그래프가 y=g′(x)의 그래프보다 위에 있다는 뜻입니다. 그래서 판단의 경계는 두 그래프가 서로 만나는 점 b와 e뿐이고, x축과 만나는 a·c·d는 이 문제에서 한 번도 쓰이지 않는 미끼입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 무엇을 물었는지부터
h(x)가 증가하는 구간은 h′(x)>0인 구간입니다. h(x)=f(x)−g(x)를 미분하면 h′(x)=f′(x)−g′(x).
이 값이 양수가 되려면 f′(x)와 g′(x) 중 어느 쪽이 커야 할까요? 그리고 “크다”는 그림에서 어떻게 보이나요?
힌트 2 — 쓸 점과 버릴 점 가르기
필요한 것은 직선과 포물선이 만나는 점입니다. 그림에서 그 x좌표는 b와 e 두 개뿐입니다.
x축과 만나는 a, c, d는 f′=0 또는 g′=0인 자리일 뿐, h의 증감과는 아무 상관이 없습니다. 연필로 잠시 지워두고 보세요.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
b와 e를 경계로 세 구간이 생깁니다. x<b에서는 직선이 위, b<x<e에서는 포물선이 위, x>e에서는 다시 직선이 위입니다.
즉 증가 구간은 x<b 또는 x>e. 선택지 중 이 안에 통째로 들어가는 것을 고르세요. (−∞, c)는 도중에 b를 지난다는 점에 주의하세요.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

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정답 ⑤  구간 (e, ∞)

쎈 미적분1 0543번 해설

풀이영상

더 빠른 길 — h′을 하나의 이차함수로 보기

f는 이차함수, g는 삼차함수이므로 f′은 일차식, g′은 이차식입니다. 따라서 h′(x)=f′(x)−g′(x)는 아래로 볼록한 이차함수이고, 그림에서 두 그래프가 만나는 x=b, x=e가 바로 h′(x)=0의 두 근입니다.
아래로 볼록한 이차함수가 양수인 곳은 두 근의 바깥쪽이므로 h′>0 ⟺ x<b 또는 x>e. 선택지 중 여기에 완전히 들어가는 것은 (e, ∞) 하나입니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 주어진 그래프를 f와 g의 그래프로 읽는다
    그림에 있는 것은 y=f′(x), y=g′(x)입니다. 두 그래프의 높이 차이는 f−g의 값이 아니라 h′의 값입니다. 축 이름을 먼저 확인하세요.
  • x축과의 교점 a, c, d를 경계로 쓴다
    a·c·d는 f′이나 g′이 0이 되는 자리일 뿐입니다. h의 증감이 바뀌는 자리는 f′=g′, 즉 두 그래프가 서로 만나는 b와 e뿐입니다.
  • (−∞, c)를 답으로 고른다
    가장 많이 걸리는 선택지입니다. c보다 왼쪽 구간은 b를 지나면서 증가에서 감소로 꺾입니다. 구간 전체에서 증가해야 정답입니다.
  • f−g를 g−f로 뒤집어 계산한다
    부호를 뒤집으면 증가 구간과 감소 구간이 통째로 바뀌어 (b, e)를 답으로 고르게 됩니다. h(x)=f(x)−g(x), 빼는 쪽이 g라는 것을 먼저 적어두세요.
  • 두 그래프가 만나는 점에서 h′=0인 것을 확인하지 않는다
    서술형에서는 “f′(x)=g′(x)이므로 h′(x)=0″이라는 한 줄이 근거가 됩니다. 위아래만 눈으로 보고 결론만 쓰면 감점 대상입니다.


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