쎈미적분1 0536 - 답지나라

쎈수학 미적분Ⅰ · 05 도함수의 활용

0536
난이도 상
함수의 감소 조건
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문제를 읽자마자

출제의도

“모든 t에서 (−∞, t]의 최솟값이 f(t)”라는 조건을 감소함수 조건으로 번역하라

t를 어디에 잡든 그 왼쪽 구간의 최솟값이 오른쪽 끝값이 된다는 것은, f가 실수 전체에서 감소한다는 뜻입니다. 이 번역만 되면 나머지는 f′(x)≤0 조건과 판별식 D≤0의 정형적인 계산입니다.

막혔을 때

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 조건을 그림으로

t를 하나 정해 놓고 (−∞, t] 구간을 상상해 보세요. 이 구간의 최솟값이 오른쪽 끝 f(t)가 되려면, 그 왼쪽의 어떤 값도 f(t)보다 작아선 안 됩니다. 이게 모든 실수 t에서 성립하려면 함수 f는 전체에서 어떤 모양이어야 할까요?

힌트 2 — 도함수 조건

f가 실수 전체에서 감소하려면 모든 x에 대해 f′(x)≤0이어야 합니다. f′(x)=−6x²+2(a−3)x+(a−2)는 이차항 계수가 −6, 즉 위로 볼록입니다. 위로 볼록한 이차식이 모든 x에서 0 이하가 되려면 판별식이 어떻게 되어야 할까요?

힌트 3 — 판별식 정리

D/4 = (a−3)² + 6(a−2) 를 전개하면 a² − 3가 됩니다. a² − 3 ≤ 0 ⟹ −√3 ≤ a ≤ √3. √3 ≈ 1.732이므로 이 범위 안의 정수는 −1, 0, 1. 문제가 요구한 것은 정수 a의 최댓값입니다.

다 풀고 나서

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정답 ① 정수 a의 최댓값 = 1

쎈 미적분1 0536번 해설 1
쎈 미적분1 0536번 해설 2

풀이영상

덮기 직전에

“(−∞, t]에서 최솟값이 f(t)”를 그대로 두고 t로 뭘 해보려 한다
이 조건은 t를 대입해서 푸는 조건이 아니라, f 전체의 모양을 지정하는 조건입니다. “실수 전체에서 감소”로 바꿔 적는 순간 문제가 반으로 줄어듭니다.
f′(x)의 이차항 계수가 음수인 걸 놓친다
f′(x)=−6x²+···. 위로 볼록입니다. “이차식 ≤ 0 (모든 x)” 조건은 위로 볼록 + D≤0. 만약 아래로 볼록이었다면 성립 불가능합니다. 부호부터 확인하세요.
D≤0 을 D≥0 으로 잘못 세운다
“모든 x에서 부등호 성립”은 판별식이 붙지 않아야 한다는 뜻, 즉 D≤0. 위로 볼록에서 실근이 있으면 두 실근 바깥에서 부호가 바뀌어 조건이 깨집니다.
−√3 ≤ a ≤ √3 까지 구하고 답을 √3으로 쓴다
문제가 요구한 것은 정수 a의 최댓값. √3 ≈ 1.732이므로 정수 후보는 −1, 0, 1이고 최댓값은 1입니다. 실수/정수 조건을 마지막에 다시 확인하세요.
D/4 전개에서 (a−3)² + 6(a−2) 를 잘못 정리한다
(a−3)² = a²−6a+9, 여기에 6a−12를 더하면 a²−3. 이 두 줄에서 −6a와 +6a가 상쇄되는 걸 놓쳐 엉뚱한 부등식이 나오는 경우가 가장 많습니다.

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