쎈수학 미적분Ⅰ · 05 도함수의 활용 (2)
0535
난이도 상
일대일함수 조건
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일대일함수 조건
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문제를 읽자마자
출제의도
“x₁≠x₂이면 f(x₁)≠f(x₂)”를 일대일함수 → 실수 전체에서 증가로 번역하고, 정수 a의 합까지 정확히 세라는 문제
0533·0534의 조건을 한 문장씩 세 번 번역해 온 학생이 마무리로 만나는 문항입니다. 판별식 조건에서 나오는 이차부등식 3a²+10a+3≤0을 (a+3)(3a+1)≤0으로 인수분해하는 정확도, 그리고 폐구간 −3≤a≤−1/3 안의 정수 −3,−2,−1을 빠짐없이 세고 합을 구하는 마무리가 승부처입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 조건의 이름
“x₁≠x₂ ⟹ f(x₁)≠f(x₂)”는 일대일함수의 정의 그대로입니다.
실수 전체에서 정의된 삼차함수가 일대일이려면 증가 또는 감소여야 하고, 최고차항의 계수가 +1(양수)이므로 실수 전체에서 증가만 남습니다.
실수 전체에서 정의된 삼차함수가 일대일이려면 증가 또는 감소여야 하고, 최고차항의 계수가 +1(양수)이므로 실수 전체에서 증가만 남습니다.
힌트 2 — 판별식 세우기
f′(x)=3x²−6(a+1)x−4a. 모든 실수 x에서 f′(x)≥0이어야 하므로 판별식 D≤0.
D/4 = 9(a+1)² + 12a ≤ 0. 전개하면 9a²+18a+9+12a=9a²+30a+9. 양변을 3으로 나누면 3a²+10a+3≤0.
D/4 = 9(a+1)² + 12a ≤ 0. 전개하면 9a²+18a+9+12a=9a²+30a+9. 양변을 3으로 나누면 3a²+10a+3≤0.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
3a²+10a+3 = (a+3)(3a+1). 부등식은 (a+3)(3a+1)≤0 → −3 ≤ a ≤ −1/3.
이 구간의 정수는 −3, −2, −1의 세 개. 문제가 요구한 것은 “정수 a의 값의 합“이므로 (−3)+(−2)+(−1)=−6. 개수(3)나 곱(−6)이 아니라 합이라는 점을 다시 확인하세요.
이 구간의 정수는 −3, −2, −1의 세 개. 문제가 요구한 것은 “정수 a의 값의 합“이므로 (−3)+(−2)+(−1)=−6. 개수(3)나 곱(−6)이 아니라 합이라는 점을 다시 확인하세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ② 정수 a의 값의 합 = −6
풀이영상
인수분해가 잘 안 보일 때 — 근의 공식
3a²+10a+3=0에서 a=(−10±√(100−36))/6=(−10±8)/6이므로 a=−1/3, −3. 아래로 볼록한 이차식이 ≤0인 구간은 두 근 사이, 즉 −3≤a≤−1/3.
(a+3)(3a+1)이 눈에 안 들어오면 근의 공식으로 두 근을 뽑고 부등호 방향(아래로 볼록 → 두 근 사이가 ≤0)만 확인해도 같은 답이 나옵니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
D/4 전개에서 부호를 놓친다
9(a+1)² + 12a입니다. f′(x)=3x²−6(a+1)x−4a에서 상수항이 −4a라 (D/4의 −ac에서) 부호가 두 번 뒤집혀 +12a가 됩니다. 이 자리에서 −12a로 쓰면 부등식 방향과 정수 개수가 통째로 달라집니다. -
인수분해를 (a+3)(a+1/3)으로 쓴다
계수를 잘 봐야 합니다. 3a²+10a+3의 인수분해는 (a+3)(3a+1). 급하게 (a+3)(a+1/3)으로 쓰면 최고차항이 1이 되어 원래 식과 다릅니다. -
부등식 방향을 뒤집는다
(a+3)(3a+1)은 아래로 볼록한 이차식이므로 ≤0인 구간은 두 근 사이. “밖”으로 쓰면 정수 a가 무한히 많아져 문제가 성립하지 않습니다. -
경곗값을 정수 후보에서 뺀다
구간은 폐구간 −3≤a≤−1/3. 왼쪽 끝 −3은 정수이므로 반드시 포함. 등호를 무시하고 −2, −1만 세면 합이 −3이 되어 오답으로 이어집니다. -
“합”을 “개수” 또는 “곱”으로 착각한다
이 문제는 개수 3도, 곱 −6도, 최솟값 −3도 아닙니다. 정수의 합은 (−3)+(−2)+(−1)=−6. 답의 형태를 마지막에 한 번 더 확인하세요.
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