쎈미적분1 0534

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쎈수학 미적분Ⅰ · 05 도함수의 활용 (2)

0534
난이도 중
서술형
역함수 존재 조건
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쎈 미적분1 0534번 문제

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출제의도

“역함수가 존재한다”를 일대일대응 → 실수 전체에서 증가로 두 단계 번역하라는 문제

핵심은 첫 줄에서 조건을 갈아끼우는 데 있습니다. “역함수 존재 ⟺ 일대일대응 ⟺ 실수 전체에서 증가 또는 감소”. 여기서 최고차항이 +1인 삼차함수라는 사실이 감소 가능성을 잘라주므로 “증가”만 남습니다. 뒤는 f′(x)≥0의 표준 루트, 그리고 서술형이므로 채점 기준 세 단계를 각각 한 줄씩 답안에 남기는 일이 승부처입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 역함수 존재의 다른 이름
“역함수가 존재한다”를 그래프의 성질로 바꿔 말하면 무엇인가요? 정의역의 서로 다른 두 원소가 같은 함숫값을 가지면 안 된다는 뜻이지요.
이걸 한 단어로 일대일대응이라 부르고, 실수 전체에서 정의된 연속함수의 경우 다시 증가 또는 감소로 바뀝니다.
힌트 2 — 감소는 왜 안 되나
f(x)=x³+x²+kx−4의 최고차항의 계수가 +1(양수)입니다.
삼차함수는 x가 매우 커지거나 매우 작아질 때의 방향이 최고차항 부호로 결정되므로, 최고차항이 양수인 삼차함수는 실수 전체에서 감소할 수 없습니다. 따라서 남는 조건은 실수 전체에서 증가뿐입니다. — 이 한 줄이 채점 기준 ①(40%)입니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
“실수 전체에서 증가 ⟺ 모든 실수 x에서 f′(x)≥0”. f′(x)=3x²+2x+k는 아래로 볼록한 이차식이므로 판별식 D≤0이면 항상 f′(x)≥0.
D/4=1−3k≤0 → k≥1/3. 이 범위 안의 정수 k 중 가장 작은 값을 답하면 됩니다. 이때 답만 쓰지 말고, 판별식 유도 줄(50%)과 최솟값 결정 줄(10%)을 별도의 문장으로 남기세요.

다 풀고 나서

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정답 1  정수 k의 최솟값 = 1

쎈 미적분1 0534번 해설

풀이영상

서술형 답안 뼈대 — 채점 기준 3줄

① 역함수가 존재하려면 f는 일대일대응이어야 하고, 최고차항의 계수가 양수이므로 f는 실수 전체에서 증가해야 한다. (40%)
② f′(x)=3x²+2x+k에 대해 모든 x에서 f′(x)≥0이어야 하므로 D/4=1−3k≤0, 즉 k≥1/3. (50%)
③ 조건을 만족하는 정수 k 중 최솟값은 1. (10%)
세 문장을 각각 한 줄씩 남기는 것이 만점 답안의 최소 형태입니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • “역함수 존재 ⟺ 증가”만 외운다
    원칙은 “일대일대응 ⟺ 증가 또는 감소”이고, 이번 문제는 최고차항이 양수라 감소가 배제되어 증가만 남는 것입니다. 이 배제 근거를 답안에 쓰지 않으면 채점 기준 ①의 40%가 통째로 날아갑니다.
  • f′(x)>0으로 세운다
    등호를 빼면 k>1/3이 됩니다. 이 문제의 답은 등호가 있어야 자연스럽게 잡히는 것이 아니라, 어차피 정수 k의 최솟값이 1로 같지만, 서술형에서는 부등호를 정확히 쓴 것 자체가 채점 포인트입니다.
  • 판별식을 D=b²−4ac로 계산하다 부호를 흘린다
    D=4−12k. 여기서 4를 3배 해 12로 바꾸는 실수, 12k를 3k로 잘못 쓰는 실수가 잦습니다. D/4=1−3k로 쓰는 습관이 안전합니다.
  • 범위 k≥1/3에서 최솟값을 1/3으로 쓴다
    문제는 정수 k의 최솟값을 물었습니다. 1/3은 정수가 아니고, 1/3 이상인 정수 중 가장 작은 것은 1입니다.
  • 답만 크게 쓰고 과정 세 줄을 생략한다
    이 문항의 배점은 답 자체가 아니라 세 줄의 논리 이동에 붙어 있습니다(40/50/10). 답이 맞아도 서술이 비면 60%가 감점됩니다.


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