쎈미적분1 0533

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쎈수학 미적분Ⅰ · 05 도함수의 활용 (2)

0533
난이도 중
함수의 감소 조건
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쎈 미적분1 0533번 문제

문제를 읽자마자

출제의도

조건 “x₁<x₂이면 f(x₁)>f(x₂)”를 실수 전체에서 감소로 번역하라는 문제

이 문장은 감소함수의 정의 그 자체입니다. 번역이 끝나면 “삼차함수가 실수 전체에서 감소 ⟺ 모든 실수 x에서 f′(x)≤0 ⟺ 위로 볼록한 이차식 f′(x)의 판별식 D≤0″이라는 표준 루트만 남습니다. 승부처는 계산이 아니라 첫 줄의 번역, 그리고 마지막 줄에서 “정수의 개수”를 세는 일입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 조건에 이름 붙이기
“x가 커질수록 함숫값은 작아진다” — 이 성질의 이름이 무엇인가요? 이름이 붙는 순간 문제는 도함수의 부호 조건 하나로 바뀝니다.
실수 전체의 집합에서 감소할 조건을 f′(x)에 대한 부등식으로 쓰면 어떤 모양인가요?
힌트 2 — 도함수의 그래프 모양
f′(x)=−3x²+4ax−a는 최고차항이 −3인 위로 볼록한 포물선입니다.
이 포물선이 모든 실수 x에서 x축 아래에 머무르려면(닿는 것까지 허용), 즉 f′(x)≤0이 항상 성립하려면 판별식이 어떤 조건을 만족해야 할까요?
힌트 3 — 마지막 한 걸음
D/4=(2a)²−(−3)×(−a)=4a²−3a≤0 → a(4a−3)≤0 → 0≤a≤3/4.
여기서 끝이 아닙니다. 문제가 물은 것은 이 범위 안의 정수의 개수입니다. 0도 정수라는 사실을 잊지 마세요.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 1  조건을 만족하는 정수 a는 0뿐

쎈 미적분1 0533번 해설

풀이영상

더 깊이 — 왜 등호를 포함해도 되는가

a=0이면 f(x)=−x³이고 f′(0)=0이지만 이 함수는 감소함수입니다. f′(x)=0이 되는 x가 유한 개(한순간 멈춤)라면 감소는 깨지지 않습니다.
실제로 경계값에서 f′(x)는 a=0일 때 −3x², a=3/4일 때 −3(x−1/2)²으로 완전제곱이 되어 딱 한 점에서만 0이 됩니다. 이 등호가 유일한 정수 a=0을 살립니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • f′(x)<0으로 세운다
    등호를 빼면 0<a<3/4가 되어 범위 안에 정수가 없습니다. 답이 “0개”로 나왔다면 등호 누락입니다. 이 문제는 등호가 곧 정답(a=0)을 만드는 문제입니다.
  • 위로 볼록을 놓치고 부등호를 반대로 세운다
    f′(x)의 최고차항은 −3입니다. “항상 f′(x)≤0 ⟺ D≤0″은 위로 볼록일 때의 이야기. 아래로 볼록으로 착각하면 조건식 전체가 뒤집힙니다.
  • D/4 끝항의 부호를 흘린다
    (2a)²−(−3)×(−a)=4a²−3a. 음수 곱 음수를 급하게 처리해 4a²+3a로 쓰면 범위가 −3/4≤a≤0으로 바뀌어 전혀 다른 답이 나옵니다.
  • 범위를 답으로 쓴다
    0≤a≤3/4는 중간 결과입니다. 문제가 요구한 것은 “정수 a의 개수”. 마지막 문장을 다시 읽고 답의 형태를 맞추세요.
  • 0을 정수에서 빼놓는다
    이 범위의 정수는 0 하나뿐입니다. “자연수”로 잘못 읽으면 개수가 0이 됩니다. 0은 정수입니다.


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