쎈미적분1 0532

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쎈수학 미적분Ⅰ · 05 도함수의 활용 (2) 극대·극소와 최대·최소

0532
난이도 중
실수 전체에서 감소
최고차항 부호 + 판별식
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쎈 미적분1 0532번 문제

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출제의도

삼차항 계수가 문자면 조건이 두 개. 판별식 하나만 쓰면 절반짜리 풀이

바로 앞 0531과 겉모습이 똑같아 보이지만, 결정적 차이가 하나 있습니다. 삼차항 계수가 상수(⅓)가 아니라 문자 a. 그래서 “f′(x)의 볼록 방향 자체”가 a의 부호에 따라 바뀝니다. “감소하려면 f′≤0이고 f′는 위로 볼록해야 한다”는 두 조건, 그리고 a=0 경우도 따로 확인해야 완결됩니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 0531과 뭐가 다른지부터
f(x)=ax³+x²−x. 삼차항 계수가 문자 a입니다. a=0이면 함수 자체가 이차식이 되고, a의 부호에 따라 f′(x)의 볼록 방향이 뒤집힙니다.
먼저 a=0일 때를 별도로 확인하세요. 이때 f(x)=x²−x는 실수 전체에서 감소하나요?
힌트 2 — 최고차항 부호 조건
a≠0이면 f′(x)=3ax²+2x−1은 이차식. 이 이차식이 모든 실수 x에서 f′(x)≤0이 되려면, 그래프가 위로 볼록이어야 합니다.
즉 3a<0 → a<0. 이게 첫 번째 조건입니다.
힌트 3 — 판별식 조건과 교집합
위로 볼록한 이차식이 x축을 뚫고 위로 올라가지 않으려면 판별식 D≤0.
D/4 = 1²−(3a)(−1) = 1+3a ≤ 0 → a ≤ −1/3.
두 조건 a<0과 a≤−1/3의 교집합은? 그리고 앞서 확인한 a=0 경우 결과와 합쳐 최종 답을 내세요.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 ①  a ≤ −1/3

쎈 미적분1 0532번 해설

풀이영상

정리 — 삼차함수 증가·감소 조건 완전판

f(x)=ax³+bx²+cx+d (a≠0)가 실수 전체에서 증가 ⇔ a>0 이고 D≤0. 감소 ⇔ a<0 이고 D≤0. 여기서 D는 f′(x)의 판별식. a의 부호가 문자로 주어진 유형에서는 두 조건을 반드시 함께 다뤄야 합니다. (a=0이면 f는 이차식이 되어 실수 전체에서 단조가 아니므로 원칙적으로 배제.)

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 최고차항 부호 조건(a<0)을 잊고 판별식만 쓴다
    가장 많이 나오는 오답 패턴. 판별식만 쓰면 −1/3 ≤ a ≤ 1/3 같은 범위가 나옵니다. a>0이면 f는 실수 전체에서 감소가 아니라 오른쪽 끝이 결국 +∞로 올라갑니다. a<0이 먼저입니다.
  • a=0 경우를 별도로 확인하지 않는다
    a=0을 대입하면 f(x)=x²−x. 실수 전체에서 감소하는가? 아닙니다(아래로 볼록 이차). 그래서 a=0은 제외됩니다. 이 확인 한 줄이 있어야 서술형에서 완전한 풀이가 됩니다.
  • 판별식 부호를 뒤집는다
    위로 볼록한 이차식이 항상 ≤0이려면 x축 위로 올라오지 않아야 하므로 D≤0. 감소이니 부등호를 뒤집어야 한다고 착각하기 쉽지만, 판별식의 방향은 그래프가 x축과 얼마나 만나는지의 문제라 감소·증가와 무관합니다.
  • 두 조건의 교집합을 잘못 잡는다
    a<0 ∩ a≤−1/3 = a≤−1/3. 더 좁은 쪽이 이깁니다. 두 부등식을 수직선 위에 그려 겹치는 구간을 눈으로 확인하는 습관.
  • 바로 앞 0531 유형을 그대로 가져다 쓴다
    0531은 삼차항 계수가 상수 ⅓>0이라 판별식 하나로 끝나지만, 이 문제는 계수 자체가 문자. “이건 판별식 유형이야”라고 유형만 보고 반응하면 조건 한 개를 통째로 놓칩니다. 최고차항 계수가 문자면 조건 두 개를 반사적으로 떠올리세요.


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