쎈미적분1 0465

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쎈수학 미적분Ⅰ · 04단원 · 개념 04-5 평균값 정리

0465
난이도 상
롤의 정리
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함수 f(x)에 대하여 f(1)−f(−1)=2f′(c)를 만족시키는 c가 열린구간 (−1, 1)에 존재하는 함수인 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

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  • ㄱ. f(x) = |x| − 2
  • ㄴ. f(x) =

    −3x − 2  (x ≤ −1)
    1  (−1 < x < 1)
    3x − 2  (x ≥ 1)
  • ㄷ. f(x) = −x² + 5
① ㄱ② ㄴ③ ㄷ④ ㄱ, ㄴ⑤ ㄴ, ㄷ

문제를 읽자마자

출제의도

낯선 등식을 롤의 정리 문제로 번역한 다음, 조건을 하나씩 검산하라는 문제

f(1)−f(−1)=2f′(c)는 양변을 2로 나누면 {f(1)−f(−1)}/2 = f′(c), 즉 구간 [−1, 1]에서의 평균값 정리 식 그 자체입니다. 그런데 보기의 세 함수는 모두 f(1)=f(−1)이므로 좌변이 0이 되고, 결국 “f′(c)=0인 c가 (−1, 1)에 존재하는가”만 남습니다. 여기서부터는 롤의 정리의 두 조건(닫힌구간에서 연속·열린구간에서 미분가능)을 각 함수에 대해 따지는 것이 전부입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 등식의 정체
우변의 2가 어디서 온 숫자인지 보세요. 구간의 길이가 1 − (−1) = 2입니다.
양변을 2로 나누면 이 식은 어떤 정리의 결론과 똑같아지나요?
힌트 2 — 좌변부터 계산
보기 세 함수의 f(1)과 f(−1)을 실제로 대입해서 계산해 보세요. ㄴ은 x≥1일 때 3x−2, x≤−1일 때 −3x−2를 써야 합니다.
세 값이 모두 같다는 걸 확인했다면, 문제는 이제 “f′(c)=0인 c가 있는가”로 줄어듭니다.
힌트 3 — 조건 점검표
롤의 정리가 요구하는 것은 딱 두 개입니다. [−1, 1]에서 연속, (−1, 1)에서 미분가능.
ㄱ은 어느 점에서 미분이 안 되나요? 그 점이 열린구간 안인가요 밖인가요?
ㄴ은 x=±1에서 꺾이지만, 그 점들은 열린구간에 포함되지 않습니다. 대신 연속인지는 확인해야 합니다.

다 풀고 나서

해설

정답·해설 펼치기

정답 ⑤  ㄴ, ㄷ

쎈 미적분1 0465번 해설 1
쎈 미적분1 0465번 해설 2

ㄴ은 정리를 쓰지 않아도 끝난다

열린구간 (−1, 1)에서 ㄴ의 식은 f(x)=1, 곧 상수함수입니다. 상수함수의 도함수는 0이므로 그 구간의 모든 점이 조건을 만족합니다. 롤의 정리는 “적어도 하나 존재한다”만 보장하지만, ㄴ은 무수히 많다는 것을 직접 보일 수 있습니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • f(1)=f(−1)인지 확인하지 않고 롤의 정리를 꺼낸다
    롤의 정리의 전제는 양 끝 함숫값이 같다는 것입니다. 이 문제는 우연히 세 함수 모두 같지만, 그 확인 자체가 첫 단계입니다. 계산해 보지 않고 넘어가면 다른 문제에서 그대로 틀립니다.
  • ㄱ이 연속이니까 된다고 생각한다
    y=|x|−2는 [−1, 1]에서 연속이지만 x=0에서 미분이 불가능합니다. 연속은 조건의 절반일 뿐입니다. 실제로 기울기는 −1 아니면 1이라 0이 되는 지점이 없습니다.
  • ㄴ에서 x=±1이 꺾인다는 이유로 탈락시킨다
    미분가능은 열린구간 (−1, 1)에서만 요구됩니다. 끝점 x=±1은 연속이기만 하면 되고, 실제로 좌우 극한과 함숫값이 모두 1로 일치합니다. 닫힌구간과 열린구간을 각각 어디에 쓰는지 구분하세요.
  • ㄴ의 연속성을 확인하지 않는다
    x=1에서 3·1−2=1, x=−1에서 −3·(−1)−2=1. 두 이음매가 모두 1로 맞아떨어져야 [−1, 1]에서 연속이 됩니다. 이 한 줄이 빠지면 서술형에서 감점입니다.
  • c를 직접 구해야 한다고 착각한다
    묻는 것은 존재 여부입니다. ㄷ은 f′(x)=−2x에서 c=0이 바로 보이지만, ㄴ처럼 값을 특정할 수 없는 경우에도 조건만 갖추면 “존재한다”가 답입니다.


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