쎈수학 미적분Ⅰ · 04단원 롤의 정리와 평균값 정리
0464
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롤의 정리
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출제의도
이차함수의 대칭축은 두 근의 한가운데라는 사실을, 롤의 정리 언어로 다시 확인하는 문제
앞의 두 문제와 달리 여기서는 f(a)=f(b) 조건을 “만들” 필요가 없습니다. f(x)=(x−a)(x−b)에 x=a, x=b를 넣으면 둘 다 0이라 조건이 이미 갖춰져 있습니다. 남은 일은 f′(c)=0을 푸는 것뿐이고, 결과는 두 근의 중점입니다. 문자식으로 답이 나오는 만큼, 선지에서 합·차와 분모 2·4를 헷갈리지 않는 것이 실제 관문입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 조건 확인부터
전개하기 전에 f(a)와 f(b)의 값을 먼저 구해 보세요. f(a)=(a−a)(a−b), f(b)=(b−a)(b−b)입니다.
둘 다 0이라면, 롤의 정리를 쓰기 위한 조건 f(a)=f(b)는 이미 만족된 상태입니다. 미지수를 정할 일도 없습니다.
둘 다 0이라면, 롤의 정리를 쓰기 위한 조건 f(a)=f(b)는 이미 만족된 상태입니다. 미지수를 정할 일도 없습니다.
힌트 2 — 미분하기
전개하면 f(x)=x²−(a+b)x+ab이므로 f′(x)=2x−(a+b).
전개가 귀찮다면 곱의 미분법으로 f′(x)=(x−b)+(x−a)=2x−(a+b) — 결과는 같고 더 빠릅니다.
전개가 귀찮다면 곱의 미분법으로 f′(x)=(x−b)+(x−a)=2x−(a+b) — 결과는 같고 더 빠릅니다.
힌트 3 — 선지 함정 피하기
f′(c)=0에서 2c=a+b. 여기서 양변을 2로 나누는 것이지, 4로 나누는 게 아닙니다.
선지에는 (a+b)/4, (a−b)/4, (a−b)/2가 함께 있습니다. 값을 구한 뒤 a=1, b=3처럼 구체적인 수를 넣어 c=2가 나오는지 한 번만 검산하면 확실해집니다.
선지에는 (a+b)/4, (a−b)/4, (a−b)/2가 함께 있습니다. 값을 구한 뒤 a=1, b=3처럼 구체적인 수를 넣어 c=2가 나오는지 한 번만 검산하면 확실해집니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ③ c = (a+b)/2
더 빠른 길 — 그래프로 3초
y=(x−a)(x−b)는 x축과 x=a, x=b에서 만나는 아래로 볼록한 이차함수입니다. 이차함수의 대칭축은 두 근의 한가운데이므로 x=(a+b)/2.
접선이 수평이 되는 점은 꼭짓점 하나뿐이고, 꼭짓점의 x좌표가 곧 대칭축입니다. 따라서 c=(a+b)/2. 이차함수에서 롤의 정리의 c는 예외 없이 대칭축이며, 0462번도 같은 원리로 풀립니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
(a−b)/2 같은 차 형태 선지에 끌린다
구간 [a, b]의 한가운데는 두 끝값의 평균, 즉 합의 절반입니다. 차가 들어간 순간 그건 중점이 아니라 반지름(구간 길이의 절반)입니다. -
2c=a+b에서 4로 나눈다
f′(x)=2x−(a+b)의 계수 2를 나누는 것이지, x²의 계수와 겹쳐 두 번 나누는 게 아닙니다. a=1, b=3을 넣어 c=2가 나오는지 검산하면 즉시 걸러집니다. -
f(a)=f(b)를 확인하지 않고 바로 미분한다
답은 맞을 수 있지만, 롤의 정리를 쓸 자격이 있는지 확인하는 절차가 빠진 것입니다. f(a)=f(b)=0이라는 한 줄이 이 문제의 시작점이고, 서술형에서는 배점입니다. -
전개 과정에서 ab 항을 빠뜨린다
(x−a)(x−b)=x²−(a+b)x+ab. 상수항 ab는 미분하면 사라지므로 답에는 영향이 없지만, 전개를 습관적으로 흘리면 삼차 이상에서 그대로 실점으로 이어집니다. -
a와 b의 대소를 신경 쓰지 않는다
구간이 [a, b]로 주어졌으므로 a<b가 전제입니다. c=(a+b)/2는 a와 b 사이에 있으니 열린구간 (a, b)에 속하고, 롤의 정리의 결론과 어긋나지 않습니다. 이 확인까지 해야 답이 완성됩니다.
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