쎈미적분1 0460

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쎈수학 미적분Ⅰ · 04단원 접선의 방정식

0460
난이도 상
서술형
곡선에 접하는 원
풀이영상 있음

먼저 보고 싶다면

풀이영상

곡선 y = x³ + 1과 점 (1, 2)에서 접하고 중심이 y축 위에 있는 원의 넓이를 구하시오.

문제를 읽자마자

출제의도

원의 넓이를 묻지만, 실제로 푸는 것은 접점을 지나는 법선의 방정식

원의 중심은 반드시 “접점을 지나고 접선에 수직인 직선” 위에 있습니다. 여기에 “중심이 y축 위”라는 조건을 더하면 중심이 한 점으로 확정됩니다. 그다음은 두 점 사이의 거리 → 넓이. 서술형이라 이 네 단계가 그대로 채점 기준(30 % · 30 % · 20 % · 20 %)입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 중심은 어디에 있나
원과 곡선이 (1, 2)에서 접한다는 것은 그 점에서 두 곡선의 접선이 같다는 뜻입니다.
원에서 접점과 중심을 잇는 선분은 접선과 수직이므로, 중심은 점 (1, 2)를 지나고 접선에 수직인 직선 위에 있습니다. 그 직선부터 구하세요.
힌트 2 — 중심을 한 점으로 확정하기
f(x) = x³ + 1에서 f′(1) = 3이므로 수직인 직선의 기울기는 −1/3. 따라서 y − 2 = −(1/3)(x − 1), 즉 y = −(1/3)x + 7/3.
중심이 y축 위에 있으니 중심을 (0, a)로 두고 이 직선에 대입하면 a가 바로 나옵니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
중심 (0, 7/3)과 접점 (1, 2) 사이의 거리가 반지름입니다.
넓이는 πr²이므로 r을 굳이 √ 꼴로 만들 필요가 없습니다. r² = 1² + (2 − 7/3)² = 1 + 1/9 = 10/9를 그대로 π에 곱하세요.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 10π/9  (중심 (0, 7/3), 반지름 √10/3)

쎈 미적분1 0460번 해설

서술형 답안 4줄 골격 — 배점이 곧 목차다

❶ f′(1) = 3이므로 접선과 수직인 직선은 y = −(1/3)x + 7/3 (30 %) → ❷ 중심을 (0, a)로 두면 a = 7/3 (30 %) → ❸ r = √{(1 − 0)² + (2 − 7/3)²} = √10/3 (20 %) → ❹ 넓이 = π(√10/3)² = 10π/9 (20 %).
답만 10π/9라고 적으면 20 %입니다. 각 단계의 “왜”를 한 줄씩 남기는 것이 나머지 80 %입니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 접선의 y절편을 중심의 y좌표로 쓴다
    접선은 y = 3x − 1이라 절편이 −1입니다. 중심이 놓이는 것은 접선이 아니라 법선(y = −x/3 + 7/3)이므로 7/3입니다.
  • 수직인 직선의 기울기를 −3이나 1/3로 잡는다
    3의 수직 기울기는 역수의 부호를 바꾼 −1/3입니다. 부호와 역수를 동시에 처리해야 합니다.
  • 반지름을 구하면서 (2 − 7/3)의 부호에 걸린다
    −1/3이지만 제곱하면 1/9입니다. 거리 공식은 제곱이라 부호가 사라진다는 점을 기억하세요.
  • 넓이를 πr가 아니라 πr²로 쓰는 것을 잊는다
    √10/3을 그대로 π에 곱해 √10π/3으로 적는 오답이 흔합니다. r² = 10/9를 먼저 적어 두면 막을 수 있습니다.
  • 중심을 (0, a)로 놓는다는 설정을 안 쓴다
    “중심이 y축 위”를 식으로 옮긴 문장이 배점 30 %짜리 근거입니다. 머릿속에만 두지 말고 답안에 적으세요.
  • 원과 곡선을 연립하려 한다
    삼차식과 원의 연립은 육차식이 됩니다. 접한다는 조건은 연립이 아니라 접선의 수직으로 푸는 것이 정석입니다.


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