쎈미적분1 0459

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쎈수학 미적분Ⅰ · 04단원 접선의 방정식

0459
난이도 중
원과 곡선의 접선
풀이영상 있음

먼저 보고 싶다면

풀이영상

중심의 좌표가 (5, 3)인 원 C와 곡선 y = −x² + 2가 제1사분면에서 접할 때, 접점의 좌표는?

① (1/4, 31/16)② (1/3, 17/9)③ (1/2, 7/4)④ (1, 1)⑤ (5/4, 7/16)

문제를 읽자마자

출제의도

원이 접한다는 조건은 반지름 ⊥ 접선 한 줄로 번역하라는 문제

원의 방정식을 세워 곡선과 연립하면 반지름 r까지 미지수가 되어 식이 하나 부족합니다. 출제자가 반지름을 안 주고 중심만 준 이유가 그것입니다. 접점 P에서 곡선의 접선과 직선 CP가 수직 — 이 조건 하나면 t에 대한 방정식이 바로 나오고, 나머지는 삼차방정식 인수분해입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 방향부터 잡기
(x − 5)² + (y − 3)² = r²을 세워 판별식으로 가려 하고 있다면 멈추세요. 미지수가 t와 r 둘인데 조건은 하나뿐입니다.
원에서 접점과 중심을 잇는 선분은 접선과 수직입니다. 이 성질을 쓰면 r이 아예 등장하지 않습니다.
힌트 2 — 두 기울기 만들기
접점을 P(t, −t² + 2)로 놓습니다. f(x) = −x² + 2에서 f′(t) = −2t가 접선의 기울기입니다.
직선 CP의 기울기는 (−t² + 2 − 3) / (t − 5) = (−t² − 1) / (t − 5). 두 기울기의 곱이 −1이라는 식을 써 보세요.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
정리하면 2t³ + 3t − 5 = 0이 됩니다. t = 1을 넣으면 0이므로 (t − 1)(2t² + 2t + 5) = 0.
남은 2t² + 2t + 5는 D/4 = 1 − 10 < 0이라 실근이 없습니다. 이 한 줄을 확인해야 t = 1이 유일하다고 말할 수 있습니다.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 ④  (1, 1)

쎈 미적분1 0459번 해설 1
쎈 미적분1 0459번 해설 2

같은 식이 나오는 다른 길 — 거리의 최솟값

원이 곡선에 접한다는 것은 중심 C에서 곡선까지의 거리가 그 점에서 극값을 갖는다는 뜻입니다. g(t) = (t − 5)² + (−t² − 1)²으로 두고 g′(t) = 0을 풀면 4t³ + 6t − 10 = 0, 즉 2t³ + 3t − 5 = 0으로 위와 똑같은 방정식이 나옵니다.
수직 조건이 잘 안 떠오를 때 쓰는 보험용 경로입니다. 다만 계산량은 이쪽이 더 많으니, 시험장에서는 “반지름 ⊥ 접선”을 1순위로 두세요.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 원의 방정식을 세워 연립·판별식으로 간다
    반지름이 주어지지 않아 미지수가 하나 더 늘어납니다. 중심만 주어졌다면 “반지름 ⊥ 접선”이 기본 반응이어야 합니다.
  • CP의 기울기에서 분자·분모 방향을 섞어 쓴다
    분자를 3 − (−t² + 2)로 쓰면 분모도 5 − t여야 합니다. 한쪽만 뒤집으면 부호가 통째로 바뀝니다.
  • 수직 조건을 두 기울기의 곱 = 1로 쓴다
    수직이면 곱이 −1입니다. −2t · (−t² − 1)/(t − 5) = −1에서 2t³ + 3t − 5 = 0.
  • t = 1을 찾고 나머지 인수를 확인하지 않는다
    2t² + 2t + 5의 판별식이 음수라는 한 줄이 “t는 1뿐”의 근거입니다. 이 확인 없이는 답이 하나라고 단정할 수 없습니다.
  • 제1사분면 조건을 흘려보낸다
    접점이 제1사분면이므로 t > 0이고 −t² + 2 > 0, 즉 0 < t < √2. t = 1은 이 범위 안에 있습니다.
  • t만 구하고 좌표로 바꾸지 않는다
    묻는 것은 접점의 좌표입니다. y = −1² + 2 = 1을 계산해 (1, 1)까지 적으세요.


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