쎈수학 미적분Ⅰ · 04 접선의 방정식
0454
난이도 중
서술형
곡선 위의 점에서의 접선
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문제를 읽자마자
출제의도
미지수가 a, k 두 개니까 식도 두 개 — “곡선 위의 점”과 “넓이”를 각각 한 줄씩 쓰라는 문제
구할 것은 a+k인데 문제가 주는 조건은 두 개입니다. 점 (1, k)가 곡선 위에 있다는 사실에서 k=1+a가 나오고, 넓이 1/4에서 k가 확정됩니다. 서술형이므로 이 두 줄을 각각 근거로 남기는 것 자체가 배점입니다. 접선 기울기 f′(1)=2가 a와 무관하다는 점이 이 문제의 숨은 열쇠입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 첫 줄은 정해져 있다
“곡선 y=x²+a 위의 점 (1, k)”라는 표현은 대입하라는 지시입니다. 첫 줄은 무조건 k=1+a. 서술형이니 이 식에 ㉠ 같은 번호를 붙여두세요.
나중에 k를 구한 뒤 a로 되돌아올 통로가 이 줄입니다.
나중에 k를 구한 뒤 a로 되돌아올 통로가 이 줄입니다.
힌트 2 — a는 기울기에 관여하지 않는다
f(x)=x²+a이면 f′(x)=2x입니다. a가 미분에서 사라집니다. 그래서 f′(1)=2로 기울기가 확정되고, 접선은 y−k=2(x−1), 즉 y=2x+k−2.
이제 두 절편을 k로 표현할 수 있습니다. x절편과 y절편을 각각 써 보세요.
이제 두 절편을 k로 표현할 수 있습니다. x절편과 y절편을 각각 써 보세요.
힌트 3 — k>2가 왜 붙어 있나
x절편은 (2−k)/2, y절편은 k−2입니다. k>2이면 x절편은 음수, y절편은 양수이므로 길이는 (k−2)/2와 (k−2).
½·(k−2)/2·(k−2)=1/4에서 (k−2)²=1이 되고 k=1 또는 k=3인데, k>2라는 단서가 k=3을 고르게 해줍니다. 조건은 장식이 아니라 답을 하나로 만드는 장치입니다.
½·(k−2)/2·(k−2)=1/4에서 (k−2)²=1이 되고 k=1 또는 k=3인데, k>2라는 단서가 k=3을 고르게 해줍니다. 조건은 장식이 아니라 답을 하나로 만드는 장치입니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 5 (a=2, k=3)
풀이영상
채점 기준 — 어디서 점수가 갈리나
| 단계 | 비율 |
|---|---|
| ❶ 점 (1, k)에서의 접선의 방정식을 구할 수 있다 | 40% |
| ❷ k의 값을 구할 수 있다 | 30% |
| ❸ a의 값을 구할 수 있다 | 20% |
| ❹ a+k의 값을 구할 수 있다 | 10% |
접선의 방정식까지가 40점입니다. 뒤가 막혀도 f′(1)=2와 y=2x+k−2까지는 반드시 적고 나오세요.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
a 때문에 기울기를 못 구한다고 생각한다
f′(x)=2x에서 상수 a는 미분되며 사라집니다. a를 모르는 상태에서도 기울기 f′(1)=2는 확정입니다. 여기서 멈추면 40%를 통째로 잃습니다. -
x절편 (2−k)/2를 부호 그대로 넣는다
k>2이면 이 값은 음수입니다. 넓이에 들어가는 것은 길이 (k−2)/2입니다. 절댓값을 씌우지 않으면 (k−2)²=−1 같은 식이 나옵니다. -
k>2 조건을 읽지 않고 k=1도 답으로 쓴다
(k−2)²=1의 해는 k=1, 3 두 개입니다. 단서 k>2가 k=3만 남깁니다. 서술형에서는 “k>2이므로”라는 한 줄까지 적어야 근거가 완성됩니다. -
k=3에서 멈춘다
문제가 요구한 것은 a+k입니다. ㉠에 k=3을 되돌려 넣어 a=2를 구하고, 3+2=5까지 적어야 나머지 30%가 들어옵니다. -
삼각형 넓이에서 ½을 빠뜨린다
(k−2)/2·(k−2)=1/4로 계산하면 (k−2)²=1/2이 되어 무리수 답이 나옵니다. 답이 지저분해지면 ½을 먼저 의심하세요. -
서술형인데 결과만 나열한다
㉠ 세우기 → 접선 구하기 → 넓이식 세우기 → k 결정 → a 결정 순서로 근거를 이어 쓰세요. 단계마다 배점이 붙어 있어 과정이 곧 점수입니다.