쎈수학 미적분Ⅰ · 04단원 접선의 방정식
0452
대표 문제
유형14 접선과 좌표축으로 둘러싸인 도형의 넓이
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대표 문제
유형14 접선과 좌표축으로 둘러싸인 도형의 넓이
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출제의도
미분은 첫 줄에서 끝나고, 나머지는 두 y절편과 밑변 1짜리 삼각형의 넓이
이 유형의 절차는 정해져 있습니다. ① 접선의 방정식을 구한다 ② 절편을 찾아 도형의 넓이를 구한다. 여기서는 두 직선이 모두 P를 지나므로 세 꼭짓점이 P와 y축 위의 두 점이고, 밑변은 y축 위의 선분, 높이는 P에서 y축까지의 거리인 1입니다. 그림을 먼저 그리면 계산이 한 줄로 줄어듭니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 두 직선의 기울기부터
f(x)=2x³−3x²+4x−1에서 f′(x)=6x²−6x+4이므로 f′(1)=4. 이것이 l의 기울기입니다.
m은 l에 수직이므로 기울기는 4의 역수가 아니라 −1/4입니다. 두 직선 모두 점 P(1, 2)를 지납니다.
m은 l에 수직이므로 기울기는 4의 역수가 아니라 −1/4입니다. 두 직선 모두 점 P(1, 2)를 지납니다.
힌트 2 — “y축으로 둘러싸인”의 의미
둘러싸는 선이 l, m, y축 세 개이므로 도형은 삼각형입니다. 꼭짓점 하나는 두 직선의 교점인 P, 나머지 둘은 각 직선이 y축과 만나는 점이죠.
즉 필요한 것은 두 직선의 y절편입니다. y−2=4(x−1), y−2=−¼(x−1)을 정리해서 상수항을 읽어 내세요.
즉 필요한 것은 두 직선의 y절편입니다. y−2=4(x−1), y−2=−¼(x−1)을 정리해서 상수항을 읽어 내세요.
힌트 3 — 밑변과 높이를 헷갈리지 않기
y절편은 −2와 9/4가 나옵니다. 밑변은 y축 위 선분이므로 길이는 9/4−(−2)이고, 이때 높이는 P의 y좌표가 아니라 P에서 y축까지의 거리, 즉 P의 x좌표 1입니다.
부호를 그대로 빼야 합니다. 9/4−2로 계산했다면 다시 보세요.
부호를 그대로 빼야 합니다. 9/4−2로 계산했다면 다시 보세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ② 넓이 = 17/8
풀이영상
공식으로 정리해 두기 — 이 유형은 한 줄로 끝난다
곡선 위의 점 P(a, b)에서의 접선의 기울기가 m일 때, 접선과 그에 수직인 직선의 y절편은 각각 b−ma, b+a/m이므로 두 절편의 차는 |a|·|m+1/m|입니다.
따라서 넓이 = ½·a²·|m+1/m|. 이 문제는 a=1, m=4이므로 ½×1×(4+¼) = 17/8. 절편을 매번 구하지 않아도 되고, 검산용으로도 좋습니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
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수직인 직선의 기울기를 −4나 ¼로 쓴다
수직 조건은 부호를 바꾸고 역수를 취하는 것, 둘 다입니다. 4의 짝은 −1/4. 곱해서 −1이 되는지 그 자리에서 확인하는 습관을 들이세요. -
높이를 P의 y좌표 2로 잡는다
밑변을 y축 위 선분으로 잡았다면 높이는 그 밑변에서 P까지의 수직거리, 곧 P의 x좌표 1입니다. 밑변을 y축으로 정한 순간 높이는 x좌표라고 외워 두세요. -
y절편의 차를 9/4−2로 계산한다
아래쪽 절편은 2가 아니라 −2입니다. 부호를 흘리면 1/8이 나옵니다. 두 절편을 y축 위에 점으로 찍어 놓고 빼면 이 실수가 사라집니다. -
그림을 그리지 않고 식으로만 밀어붙인다
“둘러싸인 도형”은 형태를 확인해야 넓이 공식을 고를 수 있습니다. y축과 두 직선, 점 P만 스케치하면 삼각형이라는 게 즉시 보입니다. -
접선의 방정식 전개에서 상수항을 틀린다
y−2=4(x−1) ⟹ y=4x−2입니다. 4x−4+2를 4x+2로 적는 실수가 흔합니다. 전개한 직선에 x=1을 넣어 y=2가 나오는지 5초만 검산하세요. -
f′(x) 계산에서 상수항을 살려 둔다
f(x)=2x³−3x²+4x−1의 도함수는 6x²−6x+4입니다. −1은 사라지고 4x의 4는 남습니다. 이 한 항이 f′(1)=4를 만듭니다.