쎈미적분1 0443

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쎈수학 미적분Ⅰ · 04단원 접선의 방정식

0443
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접점의 x좌표 · 근과 계수의 관계
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쎈 미적분1 0443번 문제

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출제의도

접점의 좌표를 구하지 말고, 두 접점 x좌표의 합만 근과 계수의 관계로 뽑는 문제

접점을 t로 놓고 A(a, 3)을 대입하면 t에 대한 이차방정식이 나옵니다. 두 접점 B, C의 x좌표가 곧 이 방정식의 두 근이므로, 무게중심의 x좌표에 필요한 것은 t₁+t₂뿐입니다. t₁, t₂를 각각 구할 필요가 없고, 무게중심의 y좌표 15는 사실 쓰지 않고도 답이 나옵니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — a가 미지수여도 절차는 같다
A의 x좌표가 문자 a라고 겁먹을 필요 없습니다. 접점을 (t, t²+5t−2)로 놓고 접선을 세운 뒤, 점 A(a, 3)을 그대로 대입하세요.
정리하면 t에 대한 몇 차 방정식이 나오나요?
힌트 2 — 두 근이 곧 두 접점
접선은 y=(2t+5)x−t²−2이고, A를 대입하면 t²−2at−5a+5=0입니다.
이 이차방정식의 두 실근 t₁, t₂가 바로 점 B, C의 x좌표입니다. 근과 계수의 관계로 t₁+t₂는 얼마인가요?
힌트 3 — 마지막 한 걸음
t₁+t₂=2a입니다. 무게중심의 x좌표는 세 점 A, B, C의 x좌표의 평균이므로 (a+t₁+t₂)/3.
여기에 대입하면 (a+2a)/3=a가 되어, 무게중심의 x좌표가 곧 a라는 결론이 나옵니다. 주어진 무게중심은 (2, 15)였습니다.

다 풀고 나서

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정답 2

쎈 미적분1 0443번 해설

검산 — y좌표 15는 확인용

a=2를 t²−2at−5a+5=0에 넣으면 t²−4t−5=0, (t+1)(t−5)=0이므로 t=−1 또는 t=5. 접점은 (−1, −6), (5, 48)입니다.
무게중심의 y좌표는 {3+(−6)+48}/3=15로 문제 조건과 일치합니다. 즉 15는 답을 내는 데 쓰이는 조건이 아니라, 내 답이 맞았는지 확인해 주는 조건입니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 무게중심의 y좌표 15부터 쓰려고 든다
    y좌표를 쓰면 t₁²+t₂²까지 계산해야 해서 식이 몇 배로 커집니다. 두 접점을 t로 잡는 문제에서는 x좌표의 합만으로 끝나는 경우가 대부분이니, x좌표 조건을 먼저 세워 보고 부족할 때 y로 넘어가세요.
  • 무게중심에 A를 빼고 B, C만 평균 낸다
    삼각형 ABC의 무게중심은 세 꼭짓점 전부의 평균입니다. (t₁+t₂)/2로 계산하면 그건 BC의 중점이지 무게중심이 아닙니다.
  • 접선의 상수항 −t²−2를 잘못 정리한다
    y−(t²+5t−2)=(2t+5)(x−t)를 전개하면 −2t²−5t가 나오고, 여기에 t²+5t−2를 더해 −t²−2입니다. 이 항이 틀리면 t에 대한 이차방정식의 상수항 −5a+5가 통째로 달라집니다.
  • t₁+t₂의 부호를 반대로 잡는다
    t²−2at−5a+5=0에서 일차항 계수가 −2a이므로 두 근의 합은 +2a입니다. 근과 계수의 관계는 −(일차항 계수)라는 점을 계산 직전에 한 번 되뇌세요.
  • t를 x와 섞어 쓴다
    접점의 x좌표를 t로 잡았으면 접선의 방정식에서 x는 변수, t는 상수입니다. 도중에 t 자리에 x를 적으면 방정식의 미지수가 무엇인지 흐려져 근과 계수의 관계를 쓸 수 없게 됩니다.
  • 두 접선이 실제로 존재하는지 확인하지 않는다
    접점이 B, C 두 개라는 것은 t²−2at−5a+5=0이 서로 다른 두 실근을 가진다는 뜻입니다. 답 a=2를 넣었을 때 판별식이 양수인지(t=−1, 5로 두 개) 확인하면 검산이 됩니다.


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