쎈미적분1 0441

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쎈수학 미적분Ⅰ · 04단원 접선의 방정식

0441
난이도 중
곡선 밖의 점에서 그은 접선
서술형
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쎈 미적분1 0441번 문제

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출제의도

원점은 접점이 아니라 지나가는 점. 접점을 문자로 잡는 것이 시작이다

y=x⁴+3에 x=0을 넣으면 3입니다. 원점은 곡선 위의 점이 아니라 곡선 밖의 점이고, 곡선 밖의 점에서 그은 접선은 “접점을 (t, f(t))로 놓고 → 접선을 세우고 → 그 점을 대입”이 유일한 경로입니다. 서술형이므로 t⁴=1에서 실근이 t=±1뿐인 이유까지 문장으로 남겨야 점수가 붙습니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 원점의 정체부터 확인
x=0을 곡선에 넣어 보세요. y=3입니다. 즉 원점은 곡선 위에 없습니다.
그렇다면 원점의 좌표를 f′(x)에 바로 대입하는 방식은 쓸 수 없습니다. 무엇을 문자로 놓아야 할까요?
힌트 2 — 접점을 t로
접점을 (t, t⁴+3)으로 놓으면 기울기는 f′(t)=4t³입니다. 접선의 방정식을 세워 정리하면 y=4t³x−3t⁴+3.
이 직선이 원점을 지난다는 조건은 어떤 식으로 바뀌나요?
힌트 3 — 마지막 한 걸음
0=−3t⁴+3에서 t⁴−1=0, 곧 (t+1)(t−1)(t²+1)=0입니다. t²+1>0이므로 실근은 두 개뿐입니다.
두 접점의 y좌표를 각각 계산해 보세요. 같은 값이 나온다면 PQ의 길이는 x좌표 차이만으로 끝납니다.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

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정답 2

쎈 미적분1 0441번 해설

확인용 — 대칭성으로 1초 검산

y=x⁴+3은 y축 대칭 곡선이고, 원점도 y축 위의 점입니다. 그러므로 원점에서 그은 두 접선과 두 접점 역시 y축에 대해 대칭일 수밖에 없습니다.
즉 접점은 (−t, t⁴+3), (t, t⁴+3) 꼴이고 PQ=2|t|. t=1이 나왔다면 답은 2. 계산이 끝난 뒤 이 구조가 맞는지 한 번 대조해 보세요.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 원점을 접점으로 착각한다
    f(0)=3이므로 원점은 곡선 밖의 점입니다. “지나는 점”과 “접점”을 구분하지 못하면 f′(0)=0을 기울기로 잡는 오답으로 직행합니다.
  • t⁴=1에서 t=1만 취한다
    실수 범위에서 t⁴=1의 해는 t=1과 t=−1, 두 개입니다. 접점이 P, Q 두 개라고 문제가 이미 알려 주고 있으니 근이 하나만 나왔다면 그 자리에서 되돌아가세요.
  • t²+1>0을 쓰지 않고 넘어간다
    서술형에서는 (t+1)(t−1)(t²+1)=0에서 t²+1>0이므로 t=±1이라는 근거 한 줄이 채점 항목입니다. 답만 맞고 이 줄이 없으면 감점됩니다.
  • 접선의 상수항 −3t⁴+3을 −t⁴+3으로 쓴다
    y−(t⁴+3)=4t³(x−t)를 풀면 y=4t³x−4t⁴+t⁴+3입니다. −4t⁴와 +t⁴를 합쳐 −3t⁴. 이 한 항에서 t⁴=3 같은 엉뚱한 값이 나옵니다.
  • PQ를 두 점 사이 거리 공식 없이 감으로 쓴다
    두 접점 (−1, 4), (1, 4)는 y좌표가 같으므로 PQ=|1−(−1)|=2입니다. y좌표가 같다는 확인을 건너뛰면 x좌표 차만 쓰는 습관이 다른 문항에서 그대로 틀립니다.
  • 서술형인데 결론만 적는다
    배점은 ① 접점을 (t, f(t))로 놓고 접선 세우기 30% ② t의 값 구하기 40% ③ PQ 길이 구하기 30%로 나뉩니다. 세 덩어리가 각각 보이도록 줄을 띄워 쓰세요.


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