쎈수학 미적분Ⅰ · 04 도함수의 활용 · 유형 11
0440
대표문제
접선의 방정식의 활용
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문제를 읽자마자
출제의도
접선을 구하는 문제가 아니라, 접점 두 개의 좌표를 얻는 문제
넓이를 물었지만 실제로 필요한 것은 접선의 식이 아니라 접점의 좌표입니다. 점 (2, −1)은 곡선 y=−x²+x 위의 점이 아니므로(x=2일 때 y=−2) 접선은 두 개, 접점도 두 개. 그 두 점과 원점을 찍고 나면 남는 것은 삼각형 넓이 계산뿐입니다. 유형 11의 표준 흐름 — “접점을 (t, f(t))로 놓고 → 점을 대입해 t를 구하고 → 접점 좌표로 되돌아온다”를 그대로 밟는 대표문제입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 무엇을 구해야 하는지
삼각형의 세 꼭짓점은 접점 2개 + 원점입니다. 즉 최종적으로 필요한 것은 접선의 식이 아니라 접점의 좌표 두 쌍입니다.
그러려면 접점을 (t, −t²+t)로 두는 것부터 시작해야 합니다.
그러려면 접점을 (t, −t²+t)로 두는 것부터 시작해야 합니다.
힌트 2 — t 구하기
f′(x)=−2x+1이므로 접선은 y−(−t²+t)=(−2t+1)(x−t), 정리하면 y=(−2t+1)x+t².
(2, −1)을 대입하면 −1=−4t+2+t² → t²−4t+3=0 → (t−1)(t−3)=0.
t 값을 접점 좌표로 되돌리는 것을 잊지 마세요.
(2, −1)을 대입하면 −1=−4t+2+t² → t²−4t+3=0 → (t−1)(t−3)=0.
t 값을 접점 좌표로 되돌리는 것을 잊지 마세요.
힌트 3 — 넓이는 밑변부터
접점은 (1, 0)과 (3, −6)입니다. 원점 (0, 0)과 (1, 0)이 둘 다 x축 위에 있다는 점을 쓰세요.
이 변을 밑변으로 잡으면 밑변 1, 높이는 나머지 점의 y좌표의 절댓값 6입니다.
이 변을 밑변으로 잡으면 밑변 1, 높이는 나머지 점의 y좌표의 절댓값 6입니다.
다 풀고 나서
해설
정답·해설 펼치기
정답 ② 넓이 = 3
그림을 안 그리고 끝내는 길 — 좌표만으로 넓이
원점과 두 점 (x₁, y₁), (x₂, y₂)로 이루어진 삼각형의 넓이는 ½|x₁y₂ − x₂y₁|입니다.
(1, 0), (3, −6)을 넣으면 ½|1·(−6) − 3·0| = ½·6 = 3.
밑변·높이를 어떻게 잡을지 고민할 필요가 없어, 접점이 x축 위에 놓이지 않는 문제에서 특히 강합니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
(2, −1)을 접점으로 착각한다
x=2일 때 곡선의 y값은 −2입니다. 곡선 밖의 점이므로 f′(2)를 기울기로 쓰면 안 됩니다. 점이 주어지면 곡선에 대입해 보는 것이 첫 동작입니다. -
t를 접점의 좌표로 되돌리지 않는다
t=1, 3은 x좌표일 뿐입니다. y=−t²+t에 넣어야 (1, 0), (3, −6)이 나옵니다. −9+3=−6인데 −9로 적는 계산 실수가 잦습니다. -
세 꼭짓점에 (2, −1)을 넣는다
삼각형의 꼭짓점은 접점 2개와 원점입니다. 접선이 지나는 점 (2, −1)은 꼭짓점이 아닙니다. -
높이에 좌표의 부호를 그대로 쓴다
높이는 길이이므로 −6이 아니라 6입니다. 넓이가 −3으로 나왔다면 여기입니다. -
y=(−2t+1)x+t²에서 상수항 부호를 뒤집는다
전개하면 2t²−t−t²+t=+t²입니다. 0436번(y=x²+x)에서는 −t²이었던 것과 부호가 반대라 헷갈리기 쉽습니다. 매번 직접 전개해서 확인하세요.
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