쎈수학 미적분Ⅰ · 04 도함수의 활용
0439
난이도 상
서술형
접선에 수직인 직선
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접선에 수직인 직선
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문제를 읽자마자
출제의도
접선을 구하는 게 목적이 아니다. 접선은 기울기를 얻기 위한 도구일 뿐
묻는 것은 접선의 y절편이 아니라 접선에 수직인 직선의 y절편입니다. 그래서 흐름이 세 칸으로 나뉩니다. ① 곡선 밖의 점 (1, −2)에서 접점의 x좌표 t를 구한다 → ② 각 접점에서 기울기 −1/f′(t)인 직선을 세운다 → ③ 그 직선의 y절편 두 개를 더한다. 서술형이므로 이 세 칸이 답안에 그대로 보여야 하고, 실제 채점 배점도 40 % · 40 % · 20 %로 이 순서를 따릅니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 점의 위치부터
x=1을 y=x²−2x에 넣으면 y=−1입니다. 주어진 점은 (1, −2)이니 곡선 밖의 점이고, 그래서 접선이 “두 개”라고 문제가 미리 말해 준 것입니다.
접점을 (t, t²−2t)로 두고 시작하세요.
접점을 (t, t²−2t)로 두고 시작하세요.
힌트 2 — 접점 먼저 확정
f′(t)=2t−2이므로 접선은 y=(2t−2)x−t².
(1, −2)를 대입하면 −2=2t−2−t² → t²−2t=0 → t=0 또는 t=2.
여기까지가 배점 40 %입니다. 아직 답을 향해 한 칸도 못 갔습니다.
(1, −2)를 대입하면 −2=2t−2−t² → t²−2t=0 → t=0 또는 t=2.
여기까지가 배점 40 %입니다. 아직 답을 향해 한 칸도 못 갔습니다.
힌트 3 — 수직 조건과 y절편
기울기 m인 직선에 수직인 직선의 기울기는 −1/m입니다. 즉 −1/(2t−2).
접점 (t, t²−2t)를 지나므로 y−(t²−2t)=−{1/(2t−2)}(x−t).
y절편은 이 식에 x=0을 넣은 값입니다. t=0, t=2를 각각 넣어 두 값을 얻으세요.
접점 (t, t²−2t)를 지나므로 y−(t²−2t)=−{1/(2t−2)}(x−t).
y절편은 이 식에 x=0을 넣은 값입니다. t=0, t=2를 각각 넣어 두 값을 얻으세요.
다 풀고 나서
해설
정답·해설 펼치기
정답 a+b = 1
계산을 줄이는 길 — y절편 공식을 먼저 만든다
수직인 직선 y−(t²−2t)=−{1/(2t−2)}(x−t)에 x=0을 넣으면
y절편 = (t²−2t) + t/(2t−2).
이 한 줄을 만들어 두면 t=0일 때 0+0=0, t=2일 때 0+2/2=1로 대입 두 번에 끝납니다.
두 접점 (0, 0), (2, 0)이 모두 x축 위에 있다는 점도 미리 보이면 계산이 훨씬 가벼워집니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
접선의 y절편을 구해 버린다
a, b는 “접선에 수직인 직선”의 y절편입니다. 접선의 y절편 −t²을 더해 0+(−4)=−4로 적는 오답이 가장 많습니다. 문제의 마지막 문장을 다시 읽고 계산을 시작하세요. -
수직 조건에서 음의 부호를 빠뜨린다
수직인 두 직선은 기울기의 곱이 −1입니다. 1/(2t−2)가 아니라 −1/(2t−2)입니다. 부호 하나로 y절편이 통째로 달라집니다. -
t를 구한 뒤 접점의 y좌표를 다시 계산하지 않는다
t=0 → (0, 0), t=2 → (2, 0)입니다. t²−2t에 t를 넣는 이 한 번을 건너뛰고 (2, 2) 같은 값을 쓰면 그 뒤가 전부 어긋납니다. -
y절편을 x절편처럼 구한다
y절편은 x=0을 대입한 값입니다. 직선 y=−x/2+1에서 절편을 2로 읽었다면 x절편을 본 것입니다. -
서술형인데 근거 문장을 생략한다
배점이 ① 접점의 x좌표 40 % ② 수직인 직선의 방정식 40 % ③ a+b 20 %로 나뉩니다. 답이 1이어도 ①②의 식이 답안에 없으면 점수가 깎입니다. 세 칸을 눈에 보이게 끊어 쓰세요.
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