쎈수학 미적분Ⅰ · 04 도함수의 활용
0436
난이도 중
곡선 밖의 점에서 그은 접선
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문제를 읽자마자
출제의도
점 (1, 1)은 곡선 위의 점이 아니다. 그것부터 확인하라는 문제
y=x²+x에 x=1을 넣으면 y=2입니다. 즉 (1, 1)은 곡선 밖의 점이고, 여기서 그은 접선은 하나가 아니라 두 개입니다. 출제자는 x=1을 f′(x)에 그냥 대입해 기울기 3을 얻는 학생을 잡으려고 보기에 ㄹ. y=3x−2를 심어 놓았습니다. 접점을 (t, t²+t)로 두는 것이 이 문제의 시작이자 전부입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 점의 위치부터
x=1을 곡선 y=x²+x에 대입하면 y=2입니다. 주어진 점은 (1, 1)이니 곡선 위의 점이 아닙니다.
접점을 모르는 상황입니다. 그럼 접점을 무엇으로 놓아야 할까요?
접점을 모르는 상황입니다. 그럼 접점을 무엇으로 놓아야 할까요?
힌트 2 — 접점을 문자로
접점을 (t, t²+t)로 두면 접선의 기울기는 f′(t)=2t+1이므로
y−(t²+t)=(2t+1)(x−t), 정리하면 y=(2t+1)x−t²입니다.
이 직선이 (1, 1)을 지난다는 조건을 아직 안 썼습니다.
y−(t²+t)=(2t+1)(x−t), 정리하면 y=(2t+1)x−t²입니다.
이 직선이 (1, 1)을 지난다는 조건을 아직 안 썼습니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
1=(2t+1)·1−t² → t²−2t=0 → t(t−2)=0.
t가 두 개 나왔다면 접선도 두 개입니다. 각각을 y=(2t+1)x−t²에 되돌려 넣으세요.
보기에서 두 개를 골라야 한다는 점도 함께 확인하세요.
t가 두 개 나왔다면 접선도 두 개입니다. 각각을 y=(2t+1)x−t²에 되돌려 넣으세요.
보기에서 두 개를 골라야 한다는 점도 함께 확인하세요.
다 풀고 나서
해설
정답·해설 펼치기
정답 ⑤ ㄷ, ㅁ
다른 풀이 — 판별식으로 한 번에
보기의 다섯 직선은 모두 (1, 1)을 지납니다. 그러니 “점을 지나는가”로는 걸러지지 않습니다.
구하는 직선을 y=mx+n이라 하면 (1, 1)을 지나므로 n=1−m. 곡선과 연립하면
x²+x=mx+(1−m) → x²+(1−m)x−(1−m)=0.
접하려면 D=(1−m)²+4(1−m)=(1−m)(5−m)=0 ⟹ m=1 또는 m=5.
m=1이면 n=0 → y=x, m=5이면 n=−4 → y=5x−4. 접점을 잡지 않고도 같은 답이 나옵니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
(1, 1)을 접점으로 착각한다
f′(1)=3으로 계산해 y=3x−2를 고르면 보기 ㄹ에 그대로 걸립니다. 점이 주어지면 곡선에 대입해 위인지 밖인지부터 확인하는 것이 첫 동작입니다. -
접선이 하나뿐이라고 생각한다
곡선 밖의 점에서 이차곡선에 그은 접선은 보통 두 개입니다. t에 대한 방정식이 이차식으로 나왔다면 근이 두 개라는 뜻이고, 답도 두 개여야 합니다. -
y=(2t+1)x−t²로 정리하다가 부호를 흘린다
y=(2t+1)(x−t)+t²+t를 전개하면 상수항은 −2t²−t+t²+t=−t²입니다. −t²이지 +t²이 아닙니다. -
t 값을 답으로 적는다
t=0, t=2는 접점의 x좌표일 뿐입니다. 반드시 y=(2t+1)x−t²에 되돌려 넣어 직선의 식으로 바꾸세요. -
보기를 하나만 고르고 끝낸다
“있는 대로 고른 것”이므로 ㄷ 하나만 찾고 ①을 고르면 오답입니다. 구한 두 직선을 보기와 하나씩 대조한 뒤 번호를 고르세요.
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