쎈수학 미적분Ⅰ · 04 접선의 방정식
0427
난이도 상
곡선과 직선이 접할 조건
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문제를 읽자마자
출제의도
“접한다”를 접점 t에 대한 두 개의 식으로 번역하고, 경우가 둘로 갈린다는 걸 눈치채라는 문제
기울기가 1인 것만 보고 f′(t)=1 하나로 끝내면 a가 하나로 정해지지 않습니다. 접선이 y=x+3과 완전히 같은 직선이어야 하므로 기울기와 상수항 두 조건이 모두 필요하고, 상수항 조건에서 t²(2t+a)=0이라는 인수분해가 나옵니다. 여기서 t=0과 t=−a/2 두 갈래가 생기고, 문제가 “모든 a의 값의 합”을 물은 이유가 바로 이것입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 접점을 문자로 잡기
a를 직접 구하려 들면 막힙니다. 접점의 x좌표를 t로 두고, 접점이 곡선 위의 점 (t, t³+at²+at+3)이라고 쓰는 것부터 시작하세요.
f′(x)=3x²+2ax+a이므로 접선의 기울기는 f′(t)=3t²+2at+a입니다. 이제 접선의 방정식을 t로 써 보세요.
f′(x)=3x²+2ax+a이므로 접선의 기울기는 f′(t)=3t²+2at+a입니다. 이제 접선의 방정식을 t로 써 보세요.
힌트 2 — 조건은 하나가 아니다
접선을 정리하면 y=(3t²+2at+a)x−2t³−at²+3입니다. 이 직선이 y=x+3과 일치해야 하므로 비교할 것이 두 개입니다.
㉠ 기울기: 3t²+2at+a=1
㉡ 상수항: −2t³−at²+3=3
어느 쪽이 t에 대해 먼저 풀리는지 보세요.
㉠ 기울기: 3t²+2at+a=1
㉡ 상수항: −2t³−at²+3=3
어느 쪽이 t에 대해 먼저 풀리는지 보세요.
힌트 3 — 갈라지는 지점
㉡을 정리하면 t²(2t+a)=0이므로 t=0 또는 t=−a/2입니다. 두 경우를 각각 ㉠에 넣으세요.
t=0이면 a=1이 바로 나오고, t=−a/2이면 a²−4a+4=0이 되어 a=2가 나옵니다.
마지막으로 문제가 물은 것이 a의 값이 아니라 모든 a의 합이라는 걸 확인하세요.
t=0이면 a=1이 바로 나오고, t=−a/2이면 a²−4a+4=0이 되어 a=2가 나옵니다.
마지막으로 문제가 물은 것이 a의 값이 아니라 모든 a의 합이라는 걸 확인하세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 3
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더 빠른 길 — 중근 조건으로 바로 가기
곡선과 직선을 연립하면 x³+ax²+ax+3=x+3, 즉 x³+ax²+(a−1)x=0 → x{x²+ax+(a−1)}=0.
접한다는 것은 이 방정식이 중근을 가진다는 뜻입니다.
(i) 이차식이 중근: a²−4(a−1)=0 → (a−2)²=0 → a=2 (접점 x=−1)
(ii) x=0이 이차식의 근이 되어 겹칠 때: a−1=0 → a=1 (이때 x²+x=0이므로 x=0이 중근, 접점 x=0)
따라서 1+2=3. 미분 없이도 끝나지만, (ii)를 빠뜨리기 쉬우니 두 갈래를 반드시 같이 챙기세요.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
기울기 조건만 쓰고 끝낸다
f′(t)=1 하나로는 t와 a가 함께 남아 답이 정해지지 않습니다. “접선이 그 직선과 일치한다”는 말은 기울기 와 상수항, 두 개의 등식입니다. -
t²(2t+a)=0에서 t=0을 흘린다
2t+a=0만 보고 넘어가면 a=2 하나만 남아 답이 2가 됩니다. t² 인수도 근입니다. 인수분해된 식은 인수 개수만큼 경우를 적으세요. -
“접한다”를 “한 점에서만 만난다”로 오해한다
3차곡선은 접하면서 다른 점에서 또 만날 수 있습니다. 실제로 a=2일 때 x=−1에서 접하고 x=0에서 한 번 더 만납니다. 판단 기준은 교점 개수가 아니라 중근입니다. -
중근 조건에서 판별식만 확인한다
x{x²+ax+(a−1)}=0 꼴에서는 이차식이 중근일 때뿐 아니라, 이차식의 근 하나가 x=0과 겹칠 때도 중근입니다. 인수가 분리되어 있으면 항상 두 경우를 점검하세요. -
a=1, a=2까지 구하고 멈춘다
문제가 요구한 것은 모든 a의 합입니다. 구한 값을 나열한 뒤 마지막 줄에 1+2=3을 반드시 적으세요.