쎈미적분1 0425

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쎈수학 미적분Ⅰ · 04단원 · 유형 07 곡선과 직선이 접할 때

0425
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접선의 방정식
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쎈 미적분1 0425번 문제

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출제의도

기울기 m이 미지수라도, 상수항 −17이 t를 먼저 결정한다

구하는 것이 기울기 m이니 기울기 식부터 손대고 싶어지지만, 그 식에는 미지수가 둘입니다. 계수를 비교해 얻은 두 식 중 상수항 쪽은 t만의 삼차방정식이라 t가 먼저 나오고, m은 그 뒤에 대입 한 번으로 끝납니다. 0423과 완전히 같은 구조입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 방향부터 잡기
곡선이 3차식이므로 판별식은 쓸 수 없습니다. 접점의 x좌표를 t로 두고 접점 (t, t³−1), 기울기 f′(t)=3t²부터 적으세요.
접선의 방정식을 y−(t³−1)=3t²(x−t) 꼴로 세운 뒤 정리합니다.
힌트 2 — 어느 식부터 볼까
정리하면 y=3t²x−2t³−1. 이것이 y=mx−17과 일치하므로 3t²=m … ㉠, −2t³−1=−17 … ㉡.
㉠에는 미지수가 t, m 둘이지만 ㉡에는 t뿐입니다. m을 구하는 문제라고 해서 ㉠부터 붙잡지 마세요.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
㉡에서 2t³=16, 즉 t³=8입니다. t³−8=(t−2)(t²+2t+4)=0이고 t²+2t+4=(t+1)²+3>0이므로 실근은 t=2뿐입니다.
이 값을 ㉠에 넣어 m=3·2²를 계산하세요.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 ③  m = 12

쎈 미적분1 0425번 해설

다른 길 — 접점이 직선 위에 있다는 조건으로

접점 (t, t³−1)이 y=mx−17 위의 점이므로 t³−1=mt−17, 기울기가 같으므로 m=3t².
m을 대입하면 t³−1=3t³−17, 즉 2t³=16에서 t=2. 접선의 방정식을 전개하지 않아도 같은 곳에 도착합니다. 계수비교가 헷갈리는 학생에게 더 안전한 길입니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 구하는 값이 m이라서 ㉠부터 손댄다
    3t²=m은 미지수가 둘이라 진전이 없습니다. 두 식이 나오면 항상 미지수가 적은 쪽부터. 여기서는 상수항 식이 t를 단독으로 줍니다.
  • t³=8에서 t=±2라고 쓴다
    세제곱은 부호를 그대로 보존합니다. (−2)³=−8이므로 t=−2는 근이 아닙니다. 제곱근의 ± 습관이 그대로 튀어나오는 자리입니다.
  • 허근을 버리는 근거를 적지 않는다
    (t−2)(t²+2t+4)=0에서 t²+2t+4=(t+1)²+3>0이라는 한 줄이 있어야 t=2가 유일한 실근임이 성립합니다. 서술형에서는 이 줄이 배점입니다.
  • −2t³−1=−17에서 부호를 흘린다
    양변에 1을 더하면 −2t³=−16, 양변을 −2로 나누어 t³=8. 이항과 부호 나눗셈을 한 줄에 몰아서 하지 말고 두 줄로 나눠 쓰세요.
  • m=3t²에 t 대신 t³을 넣는다
    직전에 t³=8을 다뤘기 때문에 m=3·8=24로 쓰는 실수가 잦습니다. t=2를 따로 한 줄에 적어 두고 대입하세요. m=3·4=12입니다.


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