쎈미적분1 0424

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쎈수학 미적분Ⅰ · 04단원 · 유형 07 곡선과 직선이 접할 때

0424
난이도 하
접점의 좌표
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쎈 미적분1 0424번 문제

문제를 읽자마자

출제의도

접점에서는 기울기가 같고, 접점은 두 그래프 위에 동시에 있다

접선의 방정식을 세울 필요조차 없는 문제입니다. 기울기가 −1로 이미 주어져 있으니 f′(t)=−1로 t를 바로 얻고, 그 접점을 곡선 식에 넣어 a를 얻습니다. 답이 a도 t도 아닌 a+t라는 점이 이 문제의 마지막 관문입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 이미 주어진 정보 찾기
직선 y=−x+3의 기울기는 −1입니다. 접한다는 것은 x=t에서 접선의 기울기가 −1이라는 뜻이고, 접선의 기울기는 f′(t)입니다.
f(x)=x²−3x+a를 미분하면 a가 사라진다는 점에 주목하세요. t를 구하는 데는 a가 필요 없습니다.
힌트 2 — 접점의 y좌표는 어디서 읽을까
f′(t)=2t−3=−1에서 t=1을 얻었습니다. 이제 접점의 y좌표가 필요한데, 곡선 식에 넣으면 a가 딸려 나와 도움이 되지 않습니다.
접점은 직선 위에도 있습니다. y=−x+3에 x=1을 넣으세요.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
접점 (1, 2)를 이번에는 곡선 y=x²−3x+a에 대입합니다. 2=1−3+a에서 a가 나옵니다.
구한 뒤에 문제가 물은 것이 a가 아니라 a+t라는 것을 다시 확인하세요.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 5  (a=4, t=1)

쎈 미적분1 0424번 해설

더 빠른 길 — 이 문제는 판별식이 통한다

곡선이 이차식이므로 연립이 가능합니다. x²−3x+a=−x+3에서 x²−2x+a−3=0.
접한다 ⟺ 중근 ⟺ D/4=1−(a−3)=0 이므로 a=4이고, 이때 x²−2x+1=0의 중근이 x=1이므로 t=1. 따라서 a+t=5.
단, 이 방법은 곡선이 이차식일 때만 쓸 수 있습니다. 3차 이상이면 0423·0425처럼 f′(t)로 가야 합니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 접점의 y좌표를 곡선에서 구하려 한다
    y=1−3+a가 되어 미지수가 그대로 남습니다. 접점은 직선 위에도 있으니, a가 없는 y=−x+3 쪽에서 읽는 것이 항상 유리합니다.
  • 기울기 −1의 부호를 놓친다
    y=−x+3에서 x의 계수는 −1입니다. 2t−3=1로 잘못 놓으면 t=2가 나와 이후가 전부 어긋납니다.
  • a만 구하고 답으로 낸다
    a=4는 중간 결과입니다. 구하는 값은 a+t=4+1=5. 답을 쓰기 전에 문제의 마지막 문장을 다시 읽는 습관을 들이세요.
  • t를 “접점”이라고만 기억하고 y좌표로 착각한다
    문제는 접점의 x좌표를 t라 했습니다. 접점은 (1, 2)지만 t=1입니다. t=2로 쓰면 답이 6이 됩니다.
  • 미분에서 상수 a를 함께 미분해 버린다
    f(x)=x²−3x+a의 도함수는 2x−3입니다. a는 상수라 사라집니다. f′(x)=2x−3+a로 적는 순간 문제가 풀리지 않습니다.


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