쎈미적분1 0423

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쎈수학 미적분Ⅰ · 04단원 · 유형 07 곡선과 직선이 접할 때

0423
대표 문제
접선의 방정식
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쎈 미적분1 0423번 문제

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출제의도

“접한다”를 기울기와 상수항, 두 개의 등식으로 옮겨 적으라는 문제

곡선이 3차식이므로 판별식은 쓸 수 없습니다. 접점의 x좌표를 t로 두고 접선의 방정식을 세운 뒤, 그것이 주어진 직선과 같은 직선이 되도록 계수를 비교하는 것이 정해진 길입니다. 미지수가 t와 a 두 개지만, 상수항 조건이 t만의 식이라 t가 먼저 결정됩니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 방향부터 잡기
3차식과 직선을 연립해서 판별식을 쓰려 하고 있다면 멈추세요. 판별식은 이차방정식 전용입니다.
접점의 x좌표를 t로 놓는 것부터 시작합니다. f(x)=x³+2x²+ax일 때 접점은 (t, t³+2t²+at), 접선의 기울기는 f′(t)입니다.
힌트 2 — 두 직선을 겹치기
접선의 방정식을 정리하면 y=(3t²+4t+a)x−2t³−2t²입니다. 이것이 y=3x+8과 “일치”한다는 것은 기울기끼리, 상수항끼리 각각 같다는 뜻입니다.
식 두 개가 나왔을 텐데, 둘 중 미지수가 하나뿐인 쪽을 먼저 보세요.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
−2t³−2t²=8을 정리하면 t³+t²+4=0입니다. 상수항 4의 약수 ±1, ±2, ±4를 대입해 보면 t=−2에서 0이 되므로 (t+2)(t²−t+2)=0.
t²−t+2는 항상 양수이므로 실근은 t=−2뿐입니다. 이 값을 기울기 식 3t²+4t+a=3에 대입하세요.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 ②  a = −1

쎈 미적분1 0423번 해설 1
쎈 미적분1 0423번 해설 2

다른 길 — 접선의 방정식을 세우지 않기

접점은 직선 위의 점이므로 (t, 3t+8)로 둘 수 있습니다. 곡선 위의 점이기도 하니 t³+2t²+at=3t+8 … ㉠, 기울기가 같으므로 3t²+4t+a=3 … ㉡.
㉡에서 a=3−3t²−4t를 ㉠에 대입하면 t³+2t²+(3−3t²−4t)t=3t+8, 즉 −2t³−2t²=8로 같은 식에 도달합니다. 접선의 방정식을 전개하는 과정을 통째로 건너뛸 수 있습니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 연립해서 판별식 D=0을 쓰려 든다
    판별식은 이차방정식에서만 쓰는 도구입니다. 곡선이 3차 이상이면 “접점을 t로 두고 f′(t)=기울기”가 유일한 출발점입니다.
  • 기울기 식 ㉠부터 풀려다 막힌다
    3t²+4t+a=3에는 미지수가 둘입니다. 상수항 식 −2t³−2t²=8은 t만의 식이니 이쪽을 먼저 푸세요. 두 식이 나오면 미지수가 적은 쪽이 먼저입니다.
  • t³+t²+4=0에서 인수분해를 포기한다
    상수항 4의 약수 ±1, ±2, ±4를 차례로 대입하는 것이 정석입니다. t=−2가 근이므로 조립제법으로 (t+2)(t²−t+2)로 쪼갤 수 있습니다.
  • 허근을 버리는 근거를 적지 않는다
    t²−t+2=(t−1/2)²+7/4>0이므로 실근은 t=−2뿐입니다. 서술형에서는 이 한 줄이 없으면 감점 대상입니다.
  • t=−2 대입 계산에서 부호를 흘린다
    3(−2)²+4(−2)+a=3 → 12−8+a=3. 3t²의 t²는 양수가 되고 4t는 음수가 됩니다. 두 항을 한 번에 암산하지 말고 따로 적으세요.


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