쎈수학 미적분Ⅰ · 04 도함수의 활용
0422
난이도 중
접선의 방정식
수직 조건
풀이영상 있음
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풀이영상
곡선 y=−x2+3x+5 위의 점 (1, 7)에서의 접선을 l이라 하자. 직선 l에 수직이고 이 곡선에 접하는 직선의 방정식은?
- ① x−y+5=0
- ② x−y−5=0
- ③ x+y−9=0
- ④ x+y+9=0
- ⑤ x+2y−7=0
문제를 읽자마자
출제의도
수직 조건으로 기울기를 먼저 확정한 뒤, 접점을 되찾는 문제
구하는 직선은 l에 수직이고 곡선에 접한다는 두 조건을 동시에 만족합니다. 순서가 중요합니다. 수직 조건으로 기울기 −1을 먼저 못 박고, 그다음 f′(t)=−1로 접점을 역추적합니다. 접점을 모르는 상태에서 접선을 세우는 표준 흐름을 익히라는 문제입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — l의 기울기부터
f′(x)=−2x+3이므로 f′(1)이 직선 l의 기울기입니다. 먼저 이 숫자를 구하세요.
l의 방정식 전체를 구할 필요는 없습니다. 필요한 건 기울기 하나뿐입니다.
l의 방정식 전체를 구할 필요는 없습니다. 필요한 건 기울기 하나뿐입니다.
힌트 2 — 수직이면 곱해서 −1
두 직선이 수직일 조건은 (기울기의 곱)=−1입니다. l의 기울기가 1이므로 구하는 직선 m의 기울기는 −1로 확정됩니다.
이제 문제는 “기울기가 −1인 접선을 구하라”로 단순해졌습니다.
이제 문제는 “기울기가 −1인 접선을 구하라”로 단순해졌습니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
접점의 x좌표를 t라 두고 −2t+3=−1을 풀면 t=2. y좌표는 f(2)=−4+6+5=7입니다.
점 (2, 7)을 지나고 기울기 −1인 직선을 쓴 다음, 선택지가 x+y+c=0 꼴이라는 점에 맞춰 이항해서 정리하세요.
점 (2, 7)을 지나고 기울기 −1인 직선을 쓴 다음, 선택지가 x+y+c=0 꼴이라는 점에 맞춰 이항해서 정리하세요.
다 풀고 나서
해설
정답·해설 펼치기
정답 ③ x+y−9=0
더 빠른 길 — 선택지를 먼저 읽는다
구하는 직선의 기울기가 −1이라는 건 두 줄이면 나옵니다. 기울기 −1은 x+y+c=0 꼴이므로 ①②⑤는 이 시점에 탈락하고 ③④만 남습니다.
남은 둘은 y절편이 9와 −9. 접점 (2, 7)을 대입하면 2+7−9=0이므로 ③. 접선의 방정식을 완전히 전개하지 않고도 결정됩니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
수직을 “부호만 바꾸기”로 착각한다
수직은 음의 역수입니다. 기울기 1의 음의 역수가 마침 −1이라 이번엔 티가 안 나지만, 기울기가 2였다면 −2가 아니라 −1/2입니다. -
점 (1, 7)을 지나는 직선을 구한다
구하는 직선 m은 l에 수직일 뿐, (1, 7)을 지난다는 조건은 어디에도 없습니다. m의 접점은 따로 (2, 7)입니다. ①②를 고르는 대표 경로입니다. -
접점의 y좌표를 곡선이 아닌 접선에서 읽는다
t=2를 넣을 곳은 f(x)=−x2+3x+5입니다. f(2)=−4+6+5=7. −x2에서 −(22)=−4인데 (−2)2=4로 쓰면 접점이 통째로 어긋납니다. -
y=−x+9까지 구하고 답을 못 찾는다
선택지는 전부 =0 꼴로 정리되어 있습니다. y=−x+9를 x+y−9=0으로 옮겨 쓰는 마지막 한 줄까지가 풀이입니다. -
이항하면서 상수의 부호를 그대로 둔다
y=−x+9 ⟹ x+y−9=0입니다. +9를 그대로 옮겨 x+y+9=0으로 쓰면 ④가 되어 버립니다. 접점 (2, 7)을 다시 대입해 0이 되는지 확인하세요.
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