쎈미적분1 0412

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쎈수학 미적분Ⅰ · 04단원 접선의 방정식

0412
난이도 상
접선에 수직인 직선
극한값
풀이영상 있음

먼저 보고 싶다면

풀이영상

곡선 y = x² 위를 움직이는 점 P(t, t²)이 있다. 점 P를 지나고 점 P에서의 접선과 수직인 직선이 y축과 만나는 점을 Q(0, f(t))라 할 때, limt→0 f(t)의 값은?

① 1/2② 1③ 3/2④ 2⑤ 5/2

문제를 읽자마자

출제의도

그림으로 상상하면 0, 식을 세우면 1/2 — 극한은 눈이 아니라 f(t)가 결정한다

t → 0이면 P가 원점으로 가고 접선은 x축에 가까워지니, 수직인 직선은 y축이 되어 Q도 원점으로 갈 것 같습니다. 그런데 기울기 −1/(2t)는 발산하는데도 y절편에는 1/2이 남습니다. “발산하는 기울기 × 0으로 가는 밑변”이 유한한 값을 남기는 구조를 보는 것이 이 문제의 전부입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — f(t)부터 만들어라
극한값을 그림으로 추측하지 마세요. 먼저 f(t)의 식을 구해야 합니다.
g(x) = x²에서 g′(t) = 2t이므로 점 P에서의 접선의 기울기는 2t. 그렇다면 이 접선과 수직인 직선의 기울기는?
힌트 2 — 직선을 세우고 x = 0을 넣기
기울기 −1/(2t)이고 P(t, t²)을 지나는 직선: y − t² = −1/(2t)(x − t).
Q는 y축 위의 점이므로 x = 0을 대입합니다. 이때 −1/(2t)·(−t)에서 t가 약분되어 +1/2이 남는다는 점이 핵심입니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
f(t) = t² + 1/2 꼴이 나왔나요? 이제 t → 0을 넣으면 t²만 사라집니다.
t = 0에서는 −1/(2t)가 정의되지 않지만, 극한은 t ≠ 0인 값들만 보므로 문제가 없습니다.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 ①  1/2

쎈 미적분1 0412번 해설

한 줄로 기억하는 성질

f(t) − t² = 1/2. 즉 포물선 y = x² 위의 어느 점에서 그어도, 법선이 y축과 만나는 높이는 그 점보다 항상 정확히 1/2 위입니다. t와 무관하게 일정하다는 것을 알면 t → 0에서 t² → 0이므로 답은 곧바로 1/2.
참고로 t → ∞로 보내면 f(t) → ∞이고, 이 1/2이라는 간격은 포물선의 초점 (0, 1/4)과 함께 기억해 두면 좋습니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 그림만 보고 0이라고 답한다
    P가 원점에 가까워지는 것과 Q가 원점에 가까워지는 것은 다른 이야기입니다. f(t)를 세우면 1/2이 남습니다.
  • 접선의 y절편을 구한다
    문제가 요구한 것은 접선이 아니라 접선과 수직인 직선입니다. 기울기는 2t가 아니라 −1/(2t).
  • x = 0을 대입할 때 부호를 흘린다
    −1/(2t)·(0 − t) = +1/2입니다. 음수 두 개가 곱해지는 자리라 −1/2로 잘못 적기 쉽습니다.
  • 처음부터 t = 0을 대입한다
    t = 0이면 접선이 x축이라 수직인 직선의 기울기가 정의되지 않습니다. t ≠ 0에서 f(t)를 만든 뒤 극한을 취하는 순서를 지키세요.
  • Q의 좌표를 (f(t), 0)으로 읽는다
    Q는 y축 위의 점이므로 (0, f(t))입니다. 구해야 할 것은 y좌표입니다.


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