쎈수학 미적분Ⅰ · 04단원 · 유형 04 접선과 수직인 직선의 방정식
0410
난이도 하
법선 · 계수비교
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문제를 읽자마자
출제의도
접선이 아니라 접선과 수직인 직선, 그리고 마지막은 계수비교
난이도는 ‘하’지만 함정이 뒤쪽에 있습니다. 앞부분은 f′(−1)을 구해 기울기를 뒤집는 한 줄이고, 진짜 문제는 그렇게 얻은 직선을 ax+by+2=0과 “같은 직선”으로 맞추는 단계입니다. 상수항이 −1과 2로 다르기 때문에, 눈으로 계수를 맞춰 a=1, b=1이라고 읽으면 그 순간 오답 선택지에 정확히 걸립니다. 같은 직선이라는 말은 계수가 같다는 뜻이 아니라 비가 같다는 뜻입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 방향부터 잡기
묻는 직선은 접선이 아니라 접선과 수직인 직선입니다. 그러니 순서는 정해져 있습니다.
① 접선의 기울기 f′(−1)을 구한다 → ② 그 기울기의 음의 역수를 취한다 → ③ 점 (−1, 2)를 지나는 직선을 쓴다.
① 접선의 기울기 f′(−1)을 구한다 → ② 그 기울기의 음의 역수를 취한다 → ③ 점 (−1, 2)를 지나는 직선을 쓴다.
힌트 2 — 기울기 뒤집기
f(x)=−x³−2x²+3에서 f′(x)=−3x²−4x이므로 f′(−1)=−3+4=1.
접선의 기울기가 1이므로 수직인 직선의 기울기는 −1/1=−1. 점 (−1, 2)를 지나므로 y−2=−(x+1), 정리하면 x+y−1=0.
접선의 기울기가 1이므로 수직인 직선의 기울기는 −1/1=−1. 점 (−1, 2)를 지나므로 y−2=−(x+1), 정리하면 x+y−1=0.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
x+y−1=0을 얻었다고 해서 a=1, b=1이 아닙니다. 주어진 식의 상수항은 2이고 내가 구한 식의 상수항은 −1입니다.
a/1=b/1=2/(−1)이라는 비례식을 세우세요. 즉 양변에 −2를 곱한 −2x−2y+2=0이 같은 직선입니다.
a/1=b/1=2/(−1)이라는 비례식을 세우세요. 즉 양변에 −2를 곱한 −2x−2y+2=0이 같은 직선입니다.
다 풀고 나서
해설
정답·해설 펼치기
정답 ⑤ ab = 4
다른 풀이 — 계수비교 없이 대입으로
직선 ax+by+2=0이 점 (−1, 2)를 지나므로 −a+2b+2=0. 또 이 직선의 기울기가 −1이므로 −a/b=−1, 즉 a=b.
두 식을 합치면 −a+2a+2=0에서 a=−2, 따라서 b=−2, ab=4. 계수비례식이 헷갈리는 학생은 이 경로가 더 안전합니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
x+y−1=0에서 곧바로 a=1, b=1로 읽는다
ab=1이 되어 ③을 고르게 됩니다. 이 문제에서 가장 많이 나오는 오답입니다. 상수항 2를 맞추는 배수를 반드시 곱하세요. -
접선의 방정식을 그대로 답으로 쓴다
기울기 1짜리 직선 y=x+3은 접선입니다. 문제가 요구한 것은 그 접선과 수직인 직선. 문장에서 ‘수직인’을 밑줄 치고 시작하세요. -
f′(−1) 계산에서 부호가 엉킨다
f′(x)=−3x²−4x에 x=−1을 넣으면 −3(1)−4(−1)=−3+4=1입니다. (−1)²=1임을 확인하고, −4x 항의 부호가 뒤집힌다는 점을 눈으로 짚으세요. -
수직인 직선의 기울기를 −f′(−1)로 쓴다
음의 역수는 −1/f′(a)입니다. 이 문제는 f′(−1)=1이라 두 계산 결과가 우연히 같지만, 기울기가 1이 아닌 문제에서는 통째로 틀립니다. 규칙대로 −1/f′(a)로 적으세요. -
점 (−1, 2)가 곡선 위의 점인지 확인하지 않는다
−(−1)³−2(−1)²+3=1−2+3=2로 곡선 위의 점이 맞습니다. 한 줄 검산이지만, 곡선 밖의 점을 지나는 접선 문제와 유형을 혼동하지 않게 해 줍니다.
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