쎈미적분1 0400

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쎈수학 미적분Ⅰ · 04 접선의 방정식

0400
난이도 하
접선의 기울기의 최솟값
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쎈 미적분1 0400번 문제

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문제를 읽자마자

출제의도

접선의 기울기 m은 도함수 f′(x) 그 자체, 즉 이차함수의 최솟값 문제로 바꿔 읽으라는 문제

접점을 (t, f(t))로 잡고 계산을 시작하면 문자만 하나 늘어납니다. 곡선 위 어떤 점에서든 접선의 기울기는 f′(x)이므로, “m의 최솟값”은 곧 “이차함수 f′(x)=3x²−12x+1의 최솟값”입니다. 삼차함수 문제처럼 보이지만 실제로 손으로 하는 일은 이차식 완전제곱 하나뿐입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 무엇의 최솟값인가
“접하는 직선의 기울기”라는 말을 식으로 바꿔야 합니다. 접점의 x좌표가 무엇이든, 그 점에서의 접선의 기울기는 m = f′(x)입니다.
그렇다면 구해야 하는 것은 곡선 y의 최솟값이 아니라, 어떤 함수의 최솟값일까요?
힌트 2 — 도함수의 모양을 보기
f(x)=x³−6x²+x+1을 미분하면 f′(x)=3x²−12x+1입니다. 이건 x에 대한 이차함수입니다.
x² 의 계수가 3, 즉 양수라는 점에 주목하세요. 아래로 볼록한 포물선의 최솟값은 어디에 있나요?
힌트 3 — 마지막 한 걸음
3x²−12x+1에서 3을 묶어 완전제곱으로 고치세요. 3(x²−4x)+1 → 3(x−2)²−11.
꼭짓점이 (2, −11)이므로 최솟값은 x=2일 때 나옵니다. 답으로 적을 값은 x=2가 아니라 그때의 기울기 값입니다.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 ①  m의 최솟값 = −11

쎈 미적분1 0400번 해설

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한 눈에 보는 길 — 변곡점에서 최소

삼차함수 y=ax³+…에서 접선의 기울기 f′(x)는 이차함수이므로, a>0이면 기울기는 변곡점에서 최소가 됩니다. f″(x)=6x−12=0에서 x=2, 즉 변곡점의 x좌표가 곧 최솟값을 주는 지점입니다.
f′(2)=12−24+1=−11. 완전제곱을 하지 않아도 “변곡점 대입” 한 줄로 끝납니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 곡선 y의 최솟값을 구한다
    묻는 것은 y의 최솟값이 아니라 기울기 m의 최솟값입니다. 게다가 삼차함수 y=x³−6x²+x+1은 최솟값 자체가 없습니다(x→−∞에서 −∞). 문장에서 “직선의 기울기”를 먼저 표시해 두세요.
  • f′(x)=0인 x를 구해 대입한다
    f′(x)=0은 접선이 수평인 지점, 즉 극대·극소를 찾는 조건이지 기울기의 최소와는 아무 상관이 없습니다. 여기서 미분해야 할 대상은 f가 아니라 f′입니다.
  • x²의 계수 부호를 확인하지 않는다
    3>0이라 아래로 볼록 → 최솟값 존재, 최댓값은 없음. 계수가 음수인 문제였다면 정반대가 됩니다. 완전제곱 전에 부호부터 한 번 소리 내어 확인하세요.
  • 완전제곱에서 상수항 처리를 틀린다
    3(x²−4x)+1에서 3(x−2)²로 고치면 −12가 딸려 나옵니다. 1−12=−11. −4나 −11 대신 −13, −9 같은 값이 나왔다면 이 단계입니다.
  • 최솟값 자리에 x=2를 적는다
    x=2는 최솟값을 갖게 하는 위치이고, 답은 그때의 값 −11입니다. “어디서”와 “얼마”를 반드시 따로 적고 나서 선택지를 고르세요.

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